구성가능한 전체

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집합론에서 구성가능한 전체(constructible universe)는 집합모임으로, 이 모임에 속하는 집합은 더 간단한 집합을 이용해 표현할 수 있어야 한다. 이 모임은 쿠르트 괴델이 1938년에 처음 제시했다.[1]

구성가능성 공리는 구성가능한 전체와 폰 노이만 전체가 같다는 공리이다.

정의[편집]

구성가능한 전체를 정의하는 방법은 폰 노이만 전체를 정의하는 것과 비슷하게 초한귀납법을 사용한다. 과정은 다음과 같다.

여기에서 \text{Def}(X)는 집합 X 위에서 유한개의 매개변수를 이용하여 1차 술어로 정의할 수 있는 집합의 모임을 의미한다. 구체적으로는 다음과 같이 정의한다.

\text{Def}(X)1차 술어 \Phiz_1, \cdots, z_n \in X에 대해, y \in X이면서 \Phi(y,z_1,\ldots,z_n)(X,\in) 하에서 참인 y의 집합들의 모임이다.

마지막으로 L = \bigcup_{\alpha} L_{\alpha}을 정의하며 이 L구성가능한 전체로 부른다.

구성가능한 전체를 폰 노이만 전체와 비교하였을 때, 폰 노이만 전체는 생성 단계에서 모든 부분집합을 포함하는 것(V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha))과 달리, 구성가능한 전체에서는 그 중 형식 언어로 정의할 수 있는 집합만을 포함한다.

출처[편집]

  1. 쿠르트 괴델 (1938년). The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》. PMID 16577857. doi:10.1073/pnas.24.12.556.