구성 가능 전체

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집합론에서, 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 1차 논리로 정의할 수 있는 집합고유 모임이다. 폰 노이만 전체는 생성 단계에서 모든 부분 집합을 포함하지만, 구성가능한 전체에서는 그 중 1차 논리형식 언어로 정의할 수 있는 부분 집합만을 포함한다.

정의[편집]

집합 X구성 가능 멱집합(영어: constructible power set) \mathcal P_{\text{def}}(X)는 유한 개의 매개변수를 이용하여 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 X의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 연산 \in에 대한, n+1개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 \phi\in\mathcal L_{\in}x_1,\dots,x_n\in X에 대하여, 다음과 같다.

\mathcal P_{\text{def}}(X)=\{\{y\in X\colon\phi(y,x_1,\dots,x_n)\}\colon\phi\in\mathcal L_{\in},\;x_1,\dots,x_n\in X\}\subset\mathcal P(X)

임의의 순서수 \alpha집합 X에 대하여, 집합 L_\alpha(X)고유 모임 L을 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의하자.

L_\alpha(X)=\begin{cases}
\bigcup_{n=0}^\infty\overbrace{\bigcup\cdots\bigcup}^nX&\alpha=0\\
\mathcal P_{\text{def}}(L_\beta(X))&\alpha=\beta+1\\
\bigcup_{\beta < \alpha} L_\beta(X)&\alpha\text{ limit ordinal}
\end{cases}
L(X)=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{Ord}}L_\alpha(X)

구성 가능 전체 LL(\varnothing)이다. 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)은 L의 원소인 집합이다.

이 정의는 폰 노이만 전체의 정의와 유사하나, 멱집합 \mathcal P 대신 구성 가능 멱집합 \mathcal P_{\text{def}}가 사용된다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 공리이다.

성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

임의의 자연수 n에 대하여 L_n=V_n이며, 따라서 역시

L_\omega=V_\omega

이다. 임의의 순서수 \alpha에 대하여,

L_{\alpha+1}\subsetneq V_{\alpha+1}

이다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 \alpha에 대하여 \alpha=\aleph_\alpha라면,

L_\alpha=V_\alpha

이다. (예를 들어, 이는 \alpha도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질[편집]

L선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 V내부 모형이다. 특히, V에서 선택 공리가 성립하지 않아도, L선택 공리를 만족시킨다. 이는 L은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, L_\alpha의 정렬 순서가 주어졌다면, L_{\alpha+1}의 원소는 L_\alpha의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, L에서는 다음 명제들이 성립한다.

L은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

  • V의 내부 모형이다.
  • 모든 순서수들을 포함한다.

역사[편집]

쿠르트 괴델선택 공리일반화 연속체 가설체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 보이기 위하여 1938년에 정의하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Gödel, Kurt (1938년). The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》. PMID 16577857. doi 10.1073/pnas.24.12.556. 제이스토어 87239. Zbl 0020.29701. JFM 64.0035.01.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]