수리철학

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수리철학(數理哲學)은 수학에 대한 철학이다. 수학의 기초(토대)에 대한 메타수학적인 탐구, 수학적 지식에 대한 인식론적 논의, 수학 언어의 진리이론 등 수학이라는 특수한 학문 분야의 문제로부터 일반적인 철학(형이상학, 인식론 등)적 문제로 확장될 수 있는 주제들을 다룬다. 철학적 사조에 따라 접근법이 다르지만 크게 플라톤주의와 반플라톤주의로 나눌 수 있다.

플라톤주의는 수학적 대상들이 추상화된 관념으로서 독자적인 존재의 영역을 가진다고 믿는다. 플라톤주의에 따르면 수학적 명제들의 참거짓은 결정되어 있는 것이고 수학자들은 정신의 세계에서 그것을 발견할 뿐이다. 이 입장의 주요한 옹호자는 플라톤, 칼 포퍼, 쿠르트 괴델 등이다. 에르되시 팔은 신의 수학책이 존재하고 수학자들은 어쩌다가 그 책의 일부 페이지를 살짝 엿볼 뿐이라고 했는데, 이것은 수학자가 직관적으로 채택한 플라톤주의적 태도라고 말할 수 있다. 그러나 이 입장은 수학적 개념들의 창조(발명)이라는 역동적인 수학사의 성장을 설명하기 어려울 뿐만 아니라 인식론적, 형이상학적 난점을 갖고 있다. 베나세라프는 "수학적 진리에 대하여"라는 논문에서 만일 수학적 대상들이 플라톤주의가 말하는 추상적인 실체라면 어떻게 비인과적인 지식을 얻게 되는지 설명할 길이 없다는 문제를 제기한다. 그러나 경험주의자인 콰인이 논리주의적 방법으로 수학적 대상을 집합으로 환원시킨 뒤, 집합 개념 자체는 필요불가결성에 의해서 그대로 받아들여야 한다고 말한 것처럼 추상적인 수학적 대상이 실재한다는 플라톤주의적인 태도는 과학적 명제에 적용하는 진리이론을 일관되게 집합론논리학을 통해서 수학에도 적용할 수 있기 때문에 강력한 매력을 갖고 있다.

반플라톤주의는 매우 다양한 조류를 갖고 있다. 극단적인 경험주의자들은 수학적 개념이나 명제들이 일종의 허구라고 주장하기도 한다(필드의 허구주의). 수학이 자연과학과 같은 경험과학이라고 주장하는 입장도 있다(굿맨). 수학의 기초 개념을 중심으로 자연주의적인 설명을 시도하는 입장도 있다(페넬로프 매디). 최근의 영향력 있는 조류는 부르바키와 카테고리 이론에서 영향을 받은 구조주의로 수학이 다양한 수학적 구조에 대한 이론이라고 보는 것이다(샤피로, 레스닉 등).