고윳값

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위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 고유벡터가 되고 붉은색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고윳값은 1이다.

선형대수학에서 고유벡터(영어: eigenvector, 독일어: Eigenvektor)는 어떤 선형 변환이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 영벡터가 아닌 벡터를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 고윳값(eigenvalue, 독일어: Eigenwert)이라고 한다. 또한 고유공간(eigenspace, 독일어: Eigenraum)은 같은 고윳값을 갖는 고유벡터들의 집합이다. 선형 변환은 대개 고유벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고윳값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

역사와 어원[편집]

오늘날 선형대수학에 속하는 고윳값과 고유벡터의 개념은 원래 19세기에 이차형식미분 방정식 이론으로부터 발달하였다. 19세기에 오귀스탱루이 코시고전역학에서 관성 모멘트주축의 개념을 추상화하여 이차곡면을 분류하였고, 고윳값의 개념을 도입하였다. 코시는 오늘날 고윳값에 해당하는 개념을 "특성근"프랑스어: racine caractéristique 라신 카락테리스티크[*]이라고 불렀다. 또한, 코시는 대칭행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 사실을 발견하였다. 1885년 샤를 에르미트는 이를 확장하여, 일반적으로 에르미트 행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 것을 보였다.

20세기 초에 다비트 힐베르트가 오늘날 쓰이는 용어인 "고유벡터"(독일어: Eigenvektor 아이겐벡토어[*])와 "고윳값"(독일어: Eigenwert 아이겐베르트[*])을 도입하였다. (그러나 수학 외의 분야에서 헤르만 폰 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) 독일어: eigen 아이겐[*]은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

정의[편집]

  • 어떤 선형 변환고유벡터는 변환 후에도 변하지 않거나 그 크기만이 변하고 방향은 일정한 벡터를 가리킨다.
  • 어떤 고유벡터의 고윳값은 변환 전과 후의 고유벡터의 크기 비율이다.
  • 고유공간은 같은 고윳값을 갖는 고유벡터들과 영벡터들로 이루어지는 공간이다.
  • 주고유벡터(principal eigenvector)는 가장 큰 고윳값을 갖는 고유벡터이다.
  • 고윳값의 기하중복도(geometric multiplicity)는 고윳값에 의해 정의된 고유공간의 차원이다.
  • 유한 차원의 벡터 공간에 대해 선형 변환의 스펙트럼은 그 고윳값들의 집합이다.

예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고윳값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고윳값이 1뿐이므로 실수인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

예제[편집]

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고윳값은 1이다.

다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고윳값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.

고윳값 방정식[편집]

다음 방정식이 참이면 \mathbf v_\lambda는 고유벡터이고 \lambda는 그에 해당하는 고윳값이다.

T(\mathbf{v}_\lambda)=\lambda\,\mathbf{v}_\lambda

이때 T(\mathbf v_\lambda)\mathbf v_\lambda에 변환 T를 행해 얻어진 벡터이다.

T선형 변환이라고 가정하자. (즉, 모든 스칼라 a, b와 벡터 \mathbf v, \mathbf w에 대해 T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})이다. 그러면 T\mathbf v행렬 A_T와 열벡터 \mathbf v_\lambda로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고윳값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

A_T\,v_\lambda=\lambda\,v_\lambda

이 방정식에서 \lambda\mathbf v_\lambda를 미지수로 놓아 연립방정식을 풀면 고윳값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고윳값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고윳값 방정식을 미분방정식의 형태로 쓸 수 있다. T를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 고유함수라 불린다. 미분은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 선형 변환이다.

 \displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt}

(f(t)g(t)미분가능한 함수이고 ab상수이다.)

t에 대해 미분하면 고유함수 h(t)는 고윳값 방정식을 만족한다.

\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h

이때 \lambda는 고유함수에 해당하는 고윳값이다. 만약 \lambda = 0 이면 이 함수는 상수함수이다.

고윳값 방정식의 해는 h (t) = \exp (\lambda t), 즉 지수함수이다. \lambda는 임의의 복소수일 수 있다.

행렬의 고윳값과 고유벡터[편집]

어떤 주어진 행렬의 고윳값을 구하고자 할 때, 행렬의 차원이 작다면 특성 방정식을 사용해 고윳값을 쉽게 구할 수 있다. 하지만 커다란 행렬에 대해서는 특성 방정식이 복잡해지므로 대신 수치적 방법을 사용해 고윳값을 근사적으로 구하기도 한다.

특성 방정식을 이용해 고윳값 구하기[편집]

정방행렬의 고윳값을 구하는데는 특성 방정식이 매우 유용하게 쓰인다. \lambda를 행렬 A의 고윳값이라고 한다면, v에 대한 방정식 :(A - \lambda I) v = 0는 영이 아닌 해를 갖는다. (I는 단위 행렬) 이 해가 바로 고유벡터이며, 행렬식을 이용해 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

\det(A - \lambda I) = 0

여기서 좌변의 식이 바로 행렬 A의 특성 방정식이다. 행렬의 모든 고윳값은 위 식의 해를 구하면 얻을 수 있는데, 만약 An×n 행렬이라면 위 식은 최대 n개의 해를 갖는 방정식이다.

위 식을 이용해서 \lambda를 구한 다음에는, 고유벡터를 구하기 위해 다음 식을 사용한다.

(A - \lambda I) v = 0

실수의 고윳값을 갖지않는 행렬의 예로는 시계방향으로 90도 회전하는 변환 행렬을 들 수 있다. 즉,

\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}

와 같이 표현되는 행렬인데, 이 행렬의 특성 방정식은 \lambda^2+1이며 고윳값을 구하게 되면 켤레 복소수인 i-i를 해로 구할 수 있다. 물론 이 고윳값과 연관된 고유벡터도 허수 값을 갖는다.

유형[편집]

2×2 행렬에서 고윳값[편집]

2×2 행렬에서의 고윳값은 다음과 같은 방법을 통해 즉각적으로 구할 수 있다. 만약

A = \begin{bmatrix} a  & b \\ c & d \end{bmatrix}

이라 하면, 특성 방정식

\rm det \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)

이다. 따라서 그 해는,

 \lambda = \frac{a + d}{2}  \pm \sqrt{\frac{(a + d)^2}{4} + bc - ad} = \frac{a + d}{2}  \pm \frac{\sqrt{4bc + (a - d)^2  }}{4}

이다. 알다시피 2×2 행렬의 특성 방정식은 대각성분의 합(Trace)인 {\rm tr}(A)=a+d 그리고 행렬식 {\rm det}(A)=ad-bc 으로 나타낼수 있다.

{\rm det} \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}
  = {\rm det} \left[ A - \lambda I_{2}\right] 
  = \lambda^2- \lambda {\rm tr}(A)+ {\rm det}(A)

이때  I_{2} 는 2×2 단위행렬이다. 따라서 2×2 행렬의 고윳값은 다음과 같이 나타낼수 있다.

 
\lambda = \frac{1}{2} \left({\rm tr}(A) \pm \sqrt{{\rm tr}^2 (A) - 4 {\rm det}(A)} \right)

따라서, 행렬식이 영(0)이지만 대각성분의 합(Trace)이 영(0)이 아닌 아주 특별한 경우의 2×2 행렬에서는 고윳값이 영(0)이다. 예를 들어, 다음 행렬의 고윳값은 영(0)과 (a^2 + b^2)이다:


\begin{bmatrix} a^2  & a b \\ a b & b^2 \end{bmatrix}