고유값

위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 고유벡터가 되고 붉은색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고유값은 1이다.

선형대수학에서 고유벡터(영어: eigenvector, 독일어: Eigenvektor)는 어떤 선형 변환이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 영벡터가 아닌 벡터를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 고유값(eigenvalue, 독일어: Eigenwert, 표준어: 고윳값)이라고 한다. 또한 고유공간(eigenspace, 독일어: Eigenraum)은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들의 집합이다. 선형 변환은 대개 고유벡터와 그 고유값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

고유벡터(eigenvector)와 고유값(eigenvalue)의 "eigen"이라는 독일어를 이와 같은 의미로 쓴 것은 수학자 다피트 힐베르트가 처음이었다. (그러나 수학 외의 분야에서 헤르만 폰 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) 독일어: eigen 아이겐^[*]은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

정의

• 어떤 선형 변환의 고유벡터는 변환 후에도 변하지 않거나 그 크기만이 변하고 방향은 일정한 벡터를 가리킨다.
• 어떤 고유벡터의 고유값은 변환 전과 후의 고유벡터의 크기 비율이다.
• 고유공간은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들과 영벡터들로 이루어지는 공간이다.
• 주고유벡터(principal eigenvector)는 가장 큰 고유값을 갖는 고유벡터이다.
• 고유값의 기하중복도(geometric multiplicity)는 고유값에 의해 정의된 고유공간의 차원이다.
• 유한 차원의 벡터 공간에 대해 선형 변환의 스펙트럼은 그 고유값들의 집합이다.

예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고유값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고유값이 1뿐이므로 실수인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

예제

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고유값은 1이다.

다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고유값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.

고유값 방정식

다음 방정식이 참이면 $\mathbf v_\lambda$는 고유벡터이고 $\lambda$는 그에 해당하는 고유값이다.

$T(\mathbf{v}_\lambda)=\lambda\,\mathbf{v}_\lambda$

이때 $T(\mathbf v_\lambda)$는 $\mathbf v_\lambda$에 변환 $T$를 행해 얻어진 벡터이다.

$T$가 선형 변환이라고 가정하자. (즉, 모든 스칼라 $a, b$와 벡터 $\mathbf v, \mathbf w$에 대해 $T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})$이다. 그러면 $T$와 $\mathbf v$는 행렬 $A_T$와 열벡터 $\mathbf v_\lambda$로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고유값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$A_T\,v_\lambda=\lambda\,v_\lambda$

이 방정식에서 $\lambda$와 $\mathbf v_\lambda$를 미지수로 놓아 연립방정식을 풀면 고유값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고유값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고유값 방정식을 미분방정식의 형태로 쓸 수 있다. $T$를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 고유함수라 불린다. 미분은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 선형 변환이다.

$\displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt}$

($f(t)$ 와 $g(t)$는 미분가능한 함수이고 $a$ 와 $b$는 상수이다.)

$t$에 대해 미분하면 고유함수 $h(t)$는 고유값 방정식을 만족한다.

$\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h$

이때 $\lambda$는 고유함수에 해당하는 고유값이다. 만약 $\lambda = 0$ 이면 이 함수는 상수함수이다.

고유값 방정식의 해는 $g(t) = \exp (\lambda t)$, 즉 지수함수이다. $\lambda$는 임의의 복소수일 수 있다.

행렬의 고유값과 고유벡터

어떤 주어진 행렬의 고유값을 구하고자 할 때, 행렬의 차원이 작다면 특성 방정식을 사용해 고유값을 쉽게 구할 수 있다. 하지만 커다란 행렬에 대해서는 특성 방정식이 복잡해지므로 대신 수치적 방법을 사용해 고유값을 근사적으로 구하기도 한다.

특성 방정식을 이용해 고유값 구하기

정방행렬의 고유값을 구하는데는 특성 방정식이 매우 유용하게 쓰인다. $\lambda$를 행렬 $A$의 고유값이라고 한다면, $v$에 대한 방정식 :$(A - \lambda I) v = 0$는 영이 아닌 해를 갖는다. ($I$는 단위 행렬) 이 해가 바로 고유벡터이며, 행렬식을 이용해 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

$\det(A - \lambda I) = 0$

여기서 좌변의 식이 바로 행렬 $A$의 특성 방정식이다. 행렬의 모든 고유값은 위 식의 해를 구하면 얻을 수 있는데, 만약 $A$가 n×n 행렬이라면 위 식은 최대 n개의 해를 갖는 방정식이다.

위 식을 이용해서 $\lambda$를 구한 다음에는, 고유벡터를 구하기 위해 다음 식을 사용한다.

$(A - \lambda I) v = 0$

실수의 고유값을 갖지않는 행렬의 예로는 시계방향으로 90도 회전하는 변환 행렬을 들 수 있다. 즉,

$\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}$

와 같이 표현되는 행렬인데, 이 행렬의 특성 방정식은 $\lambda^2+1$이며 고유값을 구하게 되면 켤레 복소수인 $i$와 $-i$를 해로 구할 수 있다. 물론 이 고유값과 연관된 고유벡터도 허수 값을 갖는다.

유형

2×2 행렬에서 고유값

2×2 행렬에서의 고유값은 다음과 같은 방법을 통해 즉각적으로 구할수 있다. 만약

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

이라하면, 특성 방정식은

$\rm det \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$

이다. 따라서 그 해는,

$\lambda = \frac{a + d}{2} \pm \sqrt{\frac{(a + d)^2}{4} + bc - ad} = \frac{a + d}{2} \pm \frac{\sqrt{4bc + (a - d)^2 }}{4}$

이다. 알다시피 2×2 행렬의 특성 방정식은 대각성분의 합(Trace)인 ${\rm tr}(A)=a+d$ 그리고 행렬식 ${\rm det}(A)=ad-bc$ 으로 나타낼수 있다.

${\rm det} \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix} = {\rm det} \left[ A - \lambda I_{2}\right] = \lambda^2- \lambda {\rm tr}(A)+ {\rm det}(A)$

이때 $I_{2}$는 2×2 단위행렬이다. 따라서 2×2 행렬의 고유값은 다음과 같이 나타낼수 있다.

$\lambda = \frac{1}{2} \left({\rm tr}(A) \pm \sqrt{{\rm tr}^2 (A) - 4 {\rm det}(A)} \right)$

따라서, 행렬식이 영(0)이지만 대각성분의 합(Trace)가 영(0)이 아닌 아주 특별한 경우의 2×2 행렬에서는 고유값이 영(0)이다. 예를 들어, 다음 행렬의 고유값은 영(0)과 ($a^2 + b^2$)이다:

$\begin{bmatrix} a^2 & a b \\ a b & b^2 \end{bmatrix}$