연속체 가설: 두 판 사이의 차이

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2016년 8월 3일 (수) 10:52 판

집합론에서, 연속체 가설(連續體假說, 영어: continuum hypothesis, 약자 CH)은 실수의 모든 부분 집합은 가산 집합이거나 아니면 실수와 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

다음 명제들이 서로 동치이며, 이를 연속체 가설이라고 한다.

$\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$ . 즉, $\aleph _{0}$ (가산 무한 집합의 크기)과 $2^{\aleph _{0}}$ (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
임의의 실수의 집합 $S\subseteq \mathbb {R}$ 에 대하여, $S$ 가 가산 집합이 아니라면, $|S|=\mathbb {R}$ 이다.
다항식환 $\mathbb {C} [x,y,z]$ 위의 유리 함수 가군 $\mathbb {C} (x,y,z)$ 의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)^[1]^[2]^{:Theorem 2.51}

다음 세 명제가 서로 동치이며, 이를 일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 영어: generalized continuum hypothesis, 약자 GCH)이라고 한다.

임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$ 에 대하여, $\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}$ . 여기서 $\aleph$ 는 알레프 수이다.
임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$ 에 대하여, $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ . 여기서 $\beth$ 는 베트 수이다.
임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $\kappa <\lambda <2^{\kappa }$ 인 기수 $\lambda$ 가 존재하지 않는다.
임의의 기수 $\kappa$ 에 대하여, $|\{A\subseteq \kappa \colon |A|\in S\}|=\kappa$ 가 되는 기수 집합 $S\subset \operatorname {Card}$ 가 존재한다.^[3] (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.)

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

연속체 가설을 함의하는 명제

ZFC에 구성 가능성 공리( $V=L$ )를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

연속체 가설의 부정을 함의하는 명제

ZFC에 크리스토퍼 프라일링(영어: Christopher F. Freiling)의 대칭 공리(영어: axiom of symmetry)를 추가하면, 연속체 가설은 거짓이다.^[4] 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

휴 우딘(영어: W. Hugh Woodin)은 소위 오메가 논리(영어: Ω-logic)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실

\aleph _{2}=2^{\aleph _{0}}

이라는 논의를 폈다.^[5]^[6] 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom)를 가정하면,

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}

이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

(일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제

연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.^[7]^:147

\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}={\begin{cases}\aleph _{\beta +1}&\alpha \leq \beta +1\\\aleph _{\alpha }&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\aleph _{\alpha +1}&\beta +1<\alpha ,\;\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })\\\end{cases}}

여기서 $\operatorname {cf}$ 는 기수의 공종도이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수 $\kappa$ 에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.

\gimel (\kappa )=\kappa ^{+}

또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

역사

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다. 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(영어: Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.^[8]

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다.^[9]^[10] 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다. 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다.^[11]^[12] 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

참고 문헌

↑ Osofsky, Barbara L. (1979). 〈Remarks on the projective dimension of ℵ-unions〉. 《Ring Theory Waterloo 1978 Proceedings, University of Waterloo, Canada, 12–16 June, 1978》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 734. 223–235쪽. doi:10.1007/BFb0103161. ISBN 978-3-540-09529-3. MR 0548131.
↑ Osofsky, Barbara L. (1973). 《Homological dimensions of modules》. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics (영어) 12. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1662-2.
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바깥 고리

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[1] Osofsky, Barbara L. (1979). 〈Remarks on the projective dimension of ℵ-unions〉. 《Ring Theory Waterloo 1978 Proceedings, University of Waterloo, Canada, 12–16 June, 1978》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 734. 223–235쪽. doi:10.1007/BFb0103161. ISBN 978-3-540-09529-3. MR 0548131.

[2] Osofsky, Barbara L. (1973). 《Homological dimensions of modules》. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics (영어) 12. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1662-2.

[3] Hamkins, Joel David (2016년 4월 30일). “An equivalent formulation of the GCH” (영어).

[4] Freiling, Chris (1986년 3월). “Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line”. 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 51 (1): 190–200. JSTOR 2273955.

[5] Woodin, W. Hugh (2001년 6월). “The continuum hypothesis, part I” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 48 (6): 567–576.

[6] Woodin, W. Hugh (2001년 8월). “The continuum hypothesis, part II” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 48 (7): 681–690.

[7] Hayden, Seymour; John F. Kennison (1968). 《Zermelo–Fraenkel Set Theory》 (영어). Columbus, Ohio, U.S.: Charles E. Merrill Publishing Company.

[8] Jourdain, Philip E. B. (1905). “On transfinite cardinal numbers of the exponential form”. 《Philosophical Magazine, Series 6》 (영어) 9: 42–56. doi:10.1080/14786440509463254.

[9] Gödel, Kurt (1938). “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어). doi:10.1073/pnas.24.12.556. JFM 64.0035.01. JSTOR 87239. PMC 1077160. PMID 16577857. Zbl 0020.29701.

[10] Gödel, K. (1940). 《The consistency of the continuum-hypothesis》 (영어). Princeton University Press.

[11] Cohen, Paul J. (1963년 12월 15일). “The independence of the continuum hypothesis”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 50 (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557.

[12] Cohen, Paul J. (1964년 1월 15일). “The independence of the continuum hypothesis, II”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 51 (1): 105–110. doi:10.1073/pnas.51.1.105. JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132.

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-[[집합론]]에서, '''연속체 가설'''(連續體假說, [http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis continuum hypothesis], 약자 CH)은 실수의 모든 부분집합은 [[가산 집합]]이거나 아니면 실수와 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.
+[[집합론]]에서, '''연속체 가설'''(連續體假說, {{llang|en|continuum hypothesis}}, 약자 CH)은 실수의 모든 부분 집합은 [[가산 집합]]이거나 아니면 실수와 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.
 == 정의 ==
+선택 공리를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하자.
-'''연속체 가설'''은 다음과 같은 명제이다.
-:<math>\aleph_1=2^{\aleph_0}</math>
-즉, <math>\aleph_0</math>([[가산 무한 집합]]의 크기)과 <math>2^{\aleph_0}</math> (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 [[기수 (수학)|기수]]가 존재하지 않는다.
+다음 명제들이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''연속체 가설'''이라고 한다.
-'''일반화 연속체 가설'''(一般化連續體假說, {{llang|en|generalized continuum hypothesis}}, 약자 GCH)은 다음과 같은 명제이다.
+* <math>\aleph_1=2^{\aleph_0}=\beth_1</math>. 즉, <math>\aleph_0</math>([[가산 무한 집합]]의 크기)과 <math>2^{\aleph_0}</math> (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 [[기수 (수학)|기수]]가 존재하지 않는다.
-:임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math>
+* 임의의 [[실수]]의 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, <math>S</math>가 [[가산 집합]]이 아니라면, <math>|S|=\mathbb R</math>이다.
+* [[다항식환]] <math>\mathbb C[x,y,z]</math> 위의 [[유리 함수]] [[가군]] <math>\mathbb C(x,y,z)</math>의 [[사영 차원]]이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 [[사영 차원]]은 3이다.)<ref>{{서적 인용|장=Remarks on the projective dimension of ℵ-unions|이름=Barbara L.|성=Osofsky|제목=Ring Theory Waterloo 1978 Proceedings, University of Waterloo, Canada, 12–16 June, 1978|doi=10.1007/BFb0103161|쪽=223–235|날짜=1979|isbn=978-3-540-09529-3|mr=0548131|총서=Lecture Notes in Mathematics |권=734|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Homological dimensions of modules|이름=Barbara L.|성=Osofsky |isbn=978-0-8218-1662-2|총서=Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics|권=12|출판사=American Mathematical Society|url=http://bookstore.ams.org/cbms-12|날짜=1973|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 2.51}}
+다음 세 명제가 서로 [[동치]]이며, 이를 '''일반화 연속체 가설'''(一般化連續體假說, {{llang|en|generalized continuum hypothesis}}, 약자 GCH)이라고 한다.
+* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math>. 여기서 <math>\aleph</math>는 [[알레프 수]]이다.
+* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math>. 여기서 <math>\beth</math>는 [[베트 수]]이다.
+* 임의의 무한 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa<\lambda<2^\kappa</math>인 기수 <math>\lambda</math>가 존재하지 않는다.
+* 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>|\{A\subseteq\kappa\colon |A|\in S\}|=\kappa</math>가 되는 기수 집합 <math>S\subset\operatorname{Card}</math>가 존재한다.<ref>{{웹 인용|url=http://jdh.hamkins.org/an-equivalent-formulation-of-the-gch/|제목=An equivalent formulation of the GCH|이름=Joel David|성=Hamkins|날짜=2016-04-30|언어=en}}</ref> (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.)
 == 성질 ==
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 * {{서적 인용|성=Dales|이름=H. G.|공저자=W. H. Woodin|제목=An Introduction to Independence for Analysts|출판사=Cambridge University Press|날짜=1987|언어=en}}
 * {{서적 인용|성=Gödel|이름=Kurt|저자고리=쿠르트 괴델|장=What is Cantor’s Continuum Problem?|편집자=Solomon Feferman, John Dawson, [[스티븐 클레이니|Stephen Kleene]]|제목=Kurt Gödel: Collected Works Vol. II|출판사=Oxford University Press|쪽=176–187|날짜=1947|언어=en}}
-* {{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|날짜=1988-06|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|날짜=1988-06|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}
+* {{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|날짜=1988-06|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}
 * {{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}
-== 같이 보기 ==
-* [[힐베르트의 문제들]]
-* [[알레프 수]]
-* [[베트 수]]
-* [[특이 기수 가설]]
 == 바깥 고리 ==
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 * {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/|제목=The continuum hypothesis|성=Koellner|이름=Peter|날짜=2013-05-22|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|언어=en}}
 * {{웹 인용|성=McGough|이름=Nancy|url=http://www.ii.com/math/ch/|날짜=1998-02-24|제목=The continuum hypothesis|웹사이트=Infinite Ink|언어=en}}
-* {{웹 인용|성=Foreman|이름=Matt|url=http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/presentations/foreman.pdf|제목=Has the continuum hypothesis been settled?|날짜=2003|웹사이트=[http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/ Logic Colloquium 2003, Helsinki, Finland, August 14–20, 2003]|출판사=[[헬싱키 대학교]]|언어=en}}
+* {{웹 인용|성=Foreman|이름=Matt|url=http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/presentations/foreman.pdf|제목=Has the continuum hypothesis been settled?|날짜=2003|웹사이트=Logic Colloquium 2003, Helsinki, Finland, August 14–20, 2003|출판사=[[헬싱키 대학교]]|언어=en}}
 {{집합론}}

v t e 집합론
집합	원소 공집합 한원소 집합 부분집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 멱집합 멱집합 공리 곱집합 순서쌍 유한 집합 무한 집합 무한 공리 가산 집합 드 모르간의 법칙
함수	정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성
기수	집합의 크기 칸토어의 정리 대각선 논법 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도
순서수	정렬 순서 초한귀납법 공종도 쾨니그의 정리 하르톡스 수 정규 함수
역설의 해소	소박한 집합론 러셀의 역설 칸토어 역설 부랄리포르티 역설 모임 유형 이론 《수학 원리》 체르멜로-프렝켈 집합론 새 기초 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 모스-켈리 집합론
선택 공리	가산 선택 공리 의존적 선택 공리 초른 보조정리 슈필라인 확장정리 바나흐-타르스키 역설 티호노프 정리
집합론의 모형	구성 가능 전체 추이적 집합 추이적 모형 순서수 정의 가능 집합 강제법
큰 기수	도달 불가능한 기수 가측 기수 약콤팩트 기수 강콤팩트 기수 초콤팩트 기수
ZF와 독립된 명제	연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리 마틴 공리 다이아몬드 원리