구성 가능 전체

집합론에서, 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe) $V$는 모든 집합을 반복된 멱집합 연산을 통하여 위계로 배열한 집합이다. 이 구성에서, 멱집합 대신 1차 논리로 정의 가능한 부분 집합들로 구성된 구성 가능 멱집합(構成可能冪集合, 영어: constructible power set)의 개념을 사용하면 대신 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe) $L$을 얻는다. 구성 가능 전체에서는 일반화 연속체 가설이나 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 영어: axiom of constructibility, 기호 $V=L$)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

정의

구성 가능 멱집합

모임 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 ${\mathsf {A}}_{1}(-),\dots ,{\mathsf {A}}_{n}(-)$가 추가된 언어 ${\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$의 모형 $\langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle$를 생각하자. 이 모형에서 ${\mathsf {A}}_{i}(x)$의 해석은 $x\in A_{i}$이며, $x\in y$의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다).

그렇다면, 집합 $X$의 $(A_{1},\dots ,A_{n})$-구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 영어: $(A_{1},\dots ,A_{n})$-constructible power set) $\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}(X)$는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 ${\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$ 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 $X$의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 $\in$ 및 1항 관계 ${\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}$에 대한, $n+1$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 $\phi \in {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$ 및 $x_{1},\dots ,x_{n}\in X$에 대하여, 다음과 같다.

$\operatorname {Def} (X)=\left\{\{y\in X\colon \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle \models \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})\}\colon \phi \in {\mathcal {L}}_{\in },\;x_{1},\dots ,x_{n}\in X\right\}$

폰 노이만 전체와 구성 가능 전체

집합에 대한 연산 $Q$ 및 추이적 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

$Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }X_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases}}$

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)$

여기서 $\operatorname {Ord}$는 모든 순서수의 모임이다.

이제, 다음을 생각하자.

• $Q={\mathcal {P}}$ (멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(\varnothing )$는 $V_{\alpha }$로 표기하며, $V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )$를 폰 노이만 전체(영어: von Neumann universe)라고 한다.
• $Q=\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}$ (정의 가능 멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(X)$는 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$로 표기하며, $L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)$를 $X$-구성 가능 집합(영어: $X$-constructible universe)이라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$일 경우 $L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L$로 표기하며, $n=0$일 경우 흔히 $L(X)$로 표기한다.

(일부 문헌에서는 $L(X)$를 대신 $L(\{X\}\cup X)$로 정의한다. 물론, 만약 $X\in L$이라면 이는 차이가 없다.)

$L$의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)이라고 한다.

$L(-)$과 $L[-]$의 차이에 대하여 가나모리 아키히로(틀:Ja-y)는 다음과 같이 적었다.

“	$L(A)$는 생성 집합으로 모형을 구성하는 대수학적 아이디어를 실현하며, $L[A]$는 $A$를 술어로 간주하여 모형을 구성하는 아이디어를 실현한다. While $L(A)$ realizes the algebraic idea of building up a model starting from a basis of generators, $L[A]$ realizes the idea of building up a model using $A$ construed as a predicate.	”
	— :235

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

구성 가능 멱집합

일반적으로 다음이 성립한다.

$\operatorname {Def} (X)\subseteq \operatorname {Def} _{A}(X)\subseteq {\mathcal {P}}(X)$

물론, 만약 $A\cap X\in \operatorname {Def} (X)$라면

$\operatorname {Def} _{A}(X)=\operatorname {Def} (X)$

이다.

항상

$\{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)$

$\{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)$

이다. 특히, 만약 $X$가 유한 집합이라면 임의의 $A$에 대하여

$\operatorname {Def} (X)=\operatorname {Def} _{A}(X)={\mathcal {P}}(X)$

이다.

$\operatorname {Def} (X)$ 및 $\operatorname {Def} _{A}(X)$는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, ${\mathcal {P}}(X)$의 부분 불 대수를 이룬다.

구성 가능 전체

항상 다음이 성립한다.

$X\subseteq L(X)$

그러나 $X\in L(X)$일 필요는 없으며, $A\subseteq L[A]$이거나 $A\in L[A]$일 필요는 없다.

각 순서수 $\alpha$에 대하여

$L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }$

$L_{\alpha }\subseteq L_{\alpha }(A)[X]$

이다. 또한, 만약 $\alpha$가 유한하다면 $L_{\alpha }=V_{\alpha }$이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 $V$는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 $S$의 계수 $\operatorname {rank} S$는 다음과 같은 순서수이다.

$\operatorname {rank} S=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon S\subset V_{\alpha }\}$

즉, $S$가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, $V=L$이라는 명제이다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 $\alpha$에 대하여 $\alpha =\aleph _{\alpha }$라면,

$L_{\alpha }=V_{\alpha }$

이다. (예를 들어, 이는 $\alpha$가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

집합론적 성질

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $V_{\alpha }$ 및 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$는 (심지어 $A_{i}$가 고유 모임이어도) 집합이다.

그러나 $V$ 및 $L$은 고유 모임이며, 집합이 아니다. 이를 칸토어 역설이라고 한다.

모형 이론적 성질

$V$는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 $\omega$로 쓰면, $V_{\omega }$는 계승적 유한 집합(영어: hereditarily finite set, 다른 계승적 유한 집합만을 원소로 포함하는 유한 집합)들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. $\kappa$가 도달 불가능한 기수일 경우 $V_{\kappa }$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, $V_{\kappa +1}$은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 $V_{\kappa }$를 그로텐디크 전체라고 한다.

$L$은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 $V$의 내부 모형이다. 특히, $V$에서 선택 공리가 성립하지 않아도, $L$은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 $L$은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, $L_{\alpha }$의 정렬 순서가 주어졌다면, $L_{\alpha +1}$의 원소는 $L_{\alpha }$의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, $L$에서는 다음 명제들이 성립한다.

• 일반화 연속체 가설 ${\mathsf {GCH}}$
• 구성 가능성 공리 $V=L$
• 수슬린 가설의 부정 $\lnot {\mathsf {SH}}$
• 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군
• 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 $V={\mathsf {HOD}}$
• 다이아몬드 원리 $\diamondsuit$
• $0^{\#}$의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재)
• 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합이다.
• 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재

$L$은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

• $V$의 내부 모형이다.
• 모든 순서수들을 포함한다.

다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다.

역사

1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸^[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.^{:VIII, XI} (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.^{:279, §4.10} 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 $V$를 최초로 도입하였다.^{:36–40:270, §4.9}

1935년 가을에 쿠르트 괴델은 구성 가능 전체 $L$을 도입하였으며,^{:280, §4.10} 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.^:234

$L(X)$는 1956년에 허이널 언드라스(헝가리어: Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,^:234 $L[A]$는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.^:235

참고 문헌

• Devlin, Keith J. (1984). 《Constructibility》. Perspectives in Mathematical Logic (영어) 6. Springer. ISBN 3-540-13258-9. MR 0750828. Zbl 0542.03029. 
• Stanley, Lee (1983). 〈A short course on gap-one morasses with a review of the fine structure of L〉. A. R. D. Mathias. 《Surveys in Set Theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 87. 197–244쪽. doi:10.1017/CBO9780511758867.008. ISBN 978-0-52127733-4. MR 0823781. Zbl 0538.03041. 
• Hamkins, Joel David (2012). “A multiverse perspective on the axiom of constructibility” (영어). arXiv:1210.6541. Bibcode:2012arXiv1210.6541H. 

바깥 고리

• “Gödel constructive set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Constructible universe”. 《nLab》 (영어).