가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.
가환환
의 환의 표수가
이며,
가 소수라고 하자. 그렇다면
의 프로베니우스 사상
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{R}\colon r\mapsto r^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafb079f2e0b9a02e0c50c79d49143ed45b9d8b5)
이는 환 준동형을 이룬다. 이는
![{\displaystyle (r+s)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}r^{i}s^{p-i}=r^{p}+s^{p}\qquad \forall r,s\in R\qquad \left(\because p\mid {\binom {p}{i}}\qquad \forall 1\leq i\leq p-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c0820b66c74fade3b1b3054ec464ccaddff7a6)
이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어,
이다).
스킴의 프로베니우스 사상[편집]
소수
가 주어졌을 때, 유한체
위의 스킴
가 주어졌다고 하자.
의 임의 아핀 부분 스킴
에 대하여,
는
-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이
-스킴 사상
을
의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.[1]:94, Definition 3.2.21 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{/\mathbb {F} _{p}}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}\Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1ebc5d2bc354568280e101c6963cfb797d642a)
여기서
는
-스킴의 범주
의 항등 함자이다.
산술·기하 프로베니우스 사상[편집]
-스킴
위의 스킴
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 절대 프로베니우스 사상
와의 올곱을 취하면
![{\displaystyle X^{(p/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15261cedbaf019bf0412821a0515144acc6f660)
를 정의할 수 있다. 이는 함자
![{\displaystyle \operatorname {Sch} /S\to \operatorname {Sch} /S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267101e2e63026d7e76accff5263b95b918cc2ba)
를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {a} ,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51cded8911223435afb710a502670c573a0ddb5)
을 산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} }{\to }}&S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da9489125d8d63eed145bb494065c50d9be8b4d)
만약
의 절대 프로베니우스 사상
이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어,
가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상
에 대한 올곱
![{\displaystyle X^{(p^{-1}/S)}=X\times _{S}\operatorname {Frob} _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c604ad4a74fa22037e6844515732739320e8132)
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005c428cc9378636adada4fb1c3dd13bc9f548f2)
을 기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X^{(p^{-1}/S)}&{\overset {\operatorname {Frob_{g}} }{\to }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\underset {\operatorname {Frob} ^{-1}}{\to }}&S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84f6a15d49919fd86aed8595e13fcf627fe6aa2)
상대 프로베니우스 사상[편집]
-스킴
위의 스킴
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상
이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&X\\&{\scriptstyle f}\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !&\searrow \scriptstyle {\operatorname {Frob} }\\S&\leftarrow &X^{(p/S)}&{\underset {\operatorname {Frob_{a}} }{\to }}&X\\&\scriptstyle {\operatorname {Frob} }\searrow &&\swarrow \scriptstyle f\\&&S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6079a3c3d51f376d00c56805c321fef1345882fc)
이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.[1]:94, Definition 3.2.23 이는 자연 변환
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{/S}\colon \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}\to \operatorname {Id} _{\operatorname {Sch} /S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45c49ede135ded164920eb1ea658e0d50ecdab3)
을 이룬다.
물론,
라면 (또는 보다 일반적으로
라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.
소수 표수의 가환환
위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은
가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.
양의 표수의 체
에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은
가 완전체인 것이다.
고정점[편집]
유한체
위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).
![{\displaystyle a^{p}=a\qquad \forall a\in \mathbb {F} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9695f610c4e7fddce0099e5a75af484ec370e88)
양의 표수
의 체
위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식
의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라
차 다항식의 근의 수는
개 이하이며,
는 이미
개의 근을 이루므로,
위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은
이다.
보다 일반적으로, 양의 표수
의 정역
에 대해서, 항상 분수체
를 취할 수 있으므로, 표수
의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시
이다.
![{\displaystyle \{a\in D\colon a^{p}=a\}=\mathbb {F} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc05a375c6e9344a9ead44bb9261f961dc31af2f)
갈루아 군[편집]
유한체
의 유한 확대
의 갈루아 군은 순환군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57df253512e2e6fbc7f9ad8661ba5977e838a1d3)
프로베니우스 자기 동형
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7ddfc812506409b15e1efcd56b4a99c08db586)
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.
마찬가지로, 유한체
의 유한 확대
의 갈루아 군은 순환군
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})\cong \mathbb {Z} /n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60f9ae15d095f1508c1f3cc2cf81f3137082434)
이며, 프로베니우스 자기 동형의
제곱
![{\displaystyle \overbrace {\operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}\circ \cdots \circ \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{p^{m}}}} ^{m}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{mn}}/\mathbb {F} _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1709e7083f16d08299e32fe09a155c807141f82f)
은 그 생성원을 이룬다.
스킴 위의 갈루아 군의 작용[편집]
유한체
위의 스킴
가 주어졌다고 하자.
유한체
은 완전체이므로
의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며,
및
은
와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은
위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.
이제,
의
-점들의 집합
위에는 갈루아 군
(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
![{\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {\operatorname {Frob} }}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b90933739a77f3b0d784c0b1020a9635dd42c01)
또한,
위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.
![{\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X)\mapsto (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p^{n}}{\xrightarrow {x}}X{\xrightarrow {\operatorname {Frob_{a}} }}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f01edc408187cf9ada7369d296bc8808d8285b)
이 두 작용은 서로 일치한다.
따라서, 산술 프로베니우스 사상
은
-점의 집합 위의 갈루아 군
의 작용을 나타낸다.
에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상[편집]
유한체
위의 스킴
가 주어졌다고 하자.
위의 작은 에탈 위치
를 생각하자. 그렇다면,
위의 상대 프로베니우스 사상
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f758e0b0830329d8b8a514cc21fe6e9e6ad953)
과 기하 프로베니우스 사상
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}X\colon {\bar {X}}\to {\bar {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350aa3e35c2623809d4eb190183dffec3abda68e)
은 토포스
위의 같은 기하학적 사상
을 유도한다.
특히,
위의 아벨 군 값의 층
이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은
의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}=\operatorname {Frob} _{\operatorname {g} ,X/{\bar {\mathbb {F} }}_{p}}^{*}\colon \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};{\mathcal {F}})\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }({\bar {X}};f^{*}{\mathcal {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0efc917558ebf45229a8666d2a35b820eb5277b)
수론적 성질[편집]
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.
국소체[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 두 비아르키메데스 국소체
,
사이의 비분기 유한 갈루아 확대 ![{\displaystyle L/K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0381945929156997b99bb43e5b7067d18c9a84b)
대수적 정수환
의 유일한 극대 아이디얼을
라고 하고,
의 유일한 극대 아이디얼을
라고 하자.
그렇다면, 잉여류체
와
는 둘 다 유한체이며,
![{\displaystyle [{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]=[L:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2cfce833fbda5a17127d61d80eab012dc48191)
이다. (여기서
는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}\in \operatorname {Gal} \left({\frac {{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}{{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe068202c74ca2d914aeb6c9da880e370a4d1f4)
가 존재하며, 이를
의 프로베니우스 원소라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {Frob} _{L/K}(x)\equiv x^{|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|}{\pmod {\mathfrak {P}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680c8d4ffb0425a7bee890c317d75e5c92d0eac3)
대역체[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
가 갈루아 확대인 대수적 수체 ![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
- 소 아이디얼
(
는 대수적 정수환). 소수
에 대하여
이며,
가 비분기라고 하자.
가 비분기 자리이므로, 갈루아 군
은
를 고정시킨다. 즉,
에서의 분해군(영어: decompsition group)
![{\displaystyle G_{\mathfrak {p}}=\{g\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\colon g\cdot {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f6174db4e8e9618dc432c71b0f4809bb767739)
은 갈루아 군
전체이다.
이 경우,
![{\displaystyle g(x)\equiv x^{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}\qquad \forall x\in {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb0960a9fdbdf53f1294c94d690c9ebceb63dbd)
를 만족시키는 유일한 원소
![{\displaystyle g\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}/\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f320a5be4ab8426661451960f5ca08cc997bf7)
가 존재한다. (여기서
는
진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가
인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를
의 프로베니우스 원소
라고 한다.
유한체 계수의 유리 함수체
의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어,
는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서
는 완전체가 아니다.
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.[2]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]