수학에서 푸비니-슈투디 계량(Fubini–Study metric)은 에르미트 형식이 부여된 복소 사영 공간
에 주어지는 켈러 계량이다.
의 에르미트 형식은
의 유니터리 부분 군
를 정의한다. 푸비니–슈투디 계량은 이러한
군 작용에서 불변성에 의해 결정된다. 따라서 동차이다. 푸비니–슈투디 계량을 갖춘
은 대칭 공간이다. 계량의 정규화는 상황에 따라 다르다. 리만 기하학에서는 푸비니–슈투디 계량이 단순히 (2n +1)차원 초구의 표준 계량과 관련되도록 정규화 한다. 대수 기하학에서는 정규화를 사용하여
을 호지 다양체로 만든다.
차원 복소수 사영 공간
에 동차좌표
을 부여하고, 벡터
![{\displaystyle \mathbf {z} =Z_{0}^{-1}(Z_{1},\dots ,Z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d603250fbe43d3fed8af5b540f22b66e3418c04a)
로 나타내자. 그렇다면 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은
![{\displaystyle K=\ln(1+\mathbf {z} \cdot {\bar {\mathbf {z} }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7915081534d99f8766fb925228cfaaa45cebb3c5)
이다. 즉, 그 리만 계량은
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {(1+\mathbf {z} \cdot {\bar {\mathbf {z} }})d\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+\mathbf {z} \cdot {\bar {\mathbf {z} }})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb29417dba7fd35697ad7f4c1eaaf08bf9a68b92)
이다.
복소수 사영 직선(리만 구)은 위상수학적으로 2차원 구이다. 이 경우, 푸비니-슈투디 계량은
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+r^{2})^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae682e252325fe7cbb0c8d6452cbd21cad0c135)
이므로, 이는 반지름이 1/2인 구를 나타내는 것을 알 수 있다. 따라서 그 가우스 곡률은 4이다.
푸비니–슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 발생한다.
구체적으로,
을
의 모든 복소수 직선들로 구성된 공간으로 정의 할 수 있다. 이것은 곱셈 군
의 대각 군 작용에 의한 몫과 일치한다:
![{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\,\right\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6392aca942341900088d1fde767243890aec42e4)
이 몫은
을 기본 공간
에 대한 복소수 선 다발으로 인식한다. (실제로 이것은
에 대한 소위 동어반복 다발이다. ) 따라서
의 점은 ( n +1)-튜플
의 동치류로 식별된다.
들은 점의 동차 좌표라고 한다.
게다가, 이 몫 사상을 두 단계로 실현할 수 있다: 0이 아닌 복소수
를 곱하는 것은 기하학적으로 각도
만큼 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전한 후 크기
만큼 늘리는 구성으로 유일하게 생각할 수 있다. 몫 사상
은 두 부분으로 나뉜다.
![{\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e60a2769b1ff44f918ae83773555b67e43328c4)
여기서 단계 (a)는 양의 실수의 곱셈 군의 원소
에 대해
에 의한 몫이다. 단계 (b)는 회전
에 의한 몫이다.
(a)에서 몫의 결과는 방정식
. (b)의 몫은
을 실현하다. 여기서
은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 유명한 호프 올화
에 의해 명시적으로 실현된다. 그 올들은
의 대원들 중에 있다.
리만 다양체(또는 일반적으로 거리 공간)의 몫을 취할 때, 몫 공간이 잘 정의된 계량으로 부여되도록 주의를 기울여야 하다. 예를 들어, 군
가 리만 다양체
에 작용하는 경우 궤도 공간
가 유도 계량
을 갖기 위해서는
과 임의의 벡터장 쌍
대해
의 의미에서 궤도를 따라 일정해야 한다.
에 대한 표준 에르미트 계량은 다음과 같이 표준 기저로 제공된다.
![{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef35758f18e0e5e7aa872334e06d13cddce22925)
그것의 실현은
에 대한 표준 유클리드 계량이다. 이 계량은
의 대각 작용에 대해 변하므로 몫의
으로 직접 푸시다운할 수 없다. 그러나 이 계량은 회전 군
의 대각 작용에서 불변한다. 따라서 위의 구성에서 (b) 단계는 (a) 단계가 완료되면 가능하다.
푸비니–슈투디 계량은 몫
에서 유도된 계량이다. 여기서
는 표준 유클리드 계량을 단위 초구로 제한하여 부여된 소위 "둥근 계량"을 수행한다.
동차 좌표
를 갖는
의 점에 해당한다 다음과 같은 유일한 좌표
가 있다.
![{\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],\,\,Z_{0}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a17bea492413f025d8d2b53b197a4d68d726779)
특히,
,
.
은 좌표 조각
에서
에 대한 아핀 좌표계를 형성한다.
대신 Zi로 명백한 방식으로 나누면 임의의 좌표 조각
에서 아핀 좌표계를 설정 할 수 있다. n +1 좌표 조각
는
을 덮고
의 아핀 좌표
측면에서 계량을 명시적으로 제공할 수 있다. 좌표 도함수는 틀
을 정의한다. 푸비니–슈투디 계량에 에르미트 성분이 있는 점에서
의 정칙 접다발
![{\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9a689491e2c6fdf41a74ed9c8e862036f9e7fb)
여기서서
. 즉, 이 틀에서 푸비니–슈투디 계량의 에르미트 행렬은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b9c17fa795758ae01ae58298b1e602348657b9)
각 행렬 성분은 유니터리 불변이라는 점에 유의하라. 즉,
이 행렬을 바꾸지 않는다.
따라서 선 요소는 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dafffb16eb00cbf1cb805f239e7caa1a22636b)
이 마지막 식에서 아인슈타인 표기법이 1에서
까지 범위의 라틴문자 첨자
를 합산하는 데 사용되었다.
계량은 다음 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.[1]
![{\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48110e1d3084b1a559ff4fae19997c6836d4d496)
~처럼
![{\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9951a5fcc3dd9cb8d8293161af6fa682fca60a5d)
대수 기하학의 사영 다형체를 설명하는 데 일반적으로 사용되는 동차 좌표 표기법
에서도 표현이 가능하다. 형식적으로 관련된 표현을 적절하게 해석하면
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7834b9ee5836c590be230e8ceb28d133fcf3d3be)
여기서 합 규칙은 0에서
까지의 그리스 문자 첨자
를 합산하는 데 사용되며 마지막 등식에서는 텐서의 skew 부분에 대한 표준 표기법이 사용된다.
![{\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca1668ed5c8bdb979877b7c79091b3f9d53faf4)
이제
에 대한 이 표현은 분명히 동어반복 다발
의 전체 공간에 대한 텐서를 정의한다.
의 팽팽한 다발의 정칙 단면 σ를 따라 당겨서
의 텐서로 적절하게 이해해야 한다. 그런 다음 당김 값이 단면 선택과 독립적인지 확인해야 하다. 이것은 직접 계산으로 수행할 수 있다.
이 계량의 켈러 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7824b69bc2a5019d47e542cd5551ddc011a15e8c)
여기서
는 돌보 연산자이다. 이것의 당김은 정칙 단면의 선택과 분명히 독립적이다.
는
의 켈러 퍼텐셜(켈러 스칼라라고도 함)이다.
양자 역학에서 푸비니–슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 한다.[2] 그러나 부레스 계량은 일반적으로 혼합 상태 표기법으로 정의되는 반면 아래 설명은 순수 상태 항으로 작성된다. 계량의 실수 부분은 피셔 정보 계량의 4배이다.[2]
푸비니–슈투디 계량은 양자 역학에서 일반적으로 사용되는 브라켓 표기법을 사용하여 작성할 수 있다. 이 표기법을 위에 주어진 동차 좌표와 명시적으로 동일시하려면,
![{\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a69fef50eeb2171ccb65bc161a7c4dfa5483c8)
로 두면 된다. 여기서
는 힐베르트 공간에 대한 정규 직교 기저 벡터들의 집합이다.
들은 복소수이고
는 사영 공간
의 한 점에 대한 동차 좌표 표준 표기법이다. 그럼 두 점
,
을 주면 공간에서 그들 사이의 거리(측지선의 길이)는
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300e0c4ccac20d122748461e76d76d1d6d1d608d)
또는 동등하게 사영 다형체 표기법에서,
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479d608ef6eb3ae89638f1cdca0b11f7da0194e1)
여기서,
는
의 켤레 복소수이다. 분모에 있는
는
가 단위 길이로 정규화되지 않았다.(
도 마찬가지)는 것을 나타낸다. 따라서, 위에서 정규화가 명시적으로 이루어진다. 위에서 주어진 힐베르트 공간에서 거리는 두 벡터 사이의 각도로 다소 자명하게 해석될 수 있다. 따라서 때때로 양자 각도라고 한다. 각도는 0에서
사이의 실수 값이다.
이 계량의 무한소 형태는
을, 또는 동등하게,
를 수행하여 빠르게 얻을 수 있다:
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30d6275e82cd71d878614d2ee2816d0511d1f7)
양자 역학의 맥락에서
은 블로흐 구면이라고 하다. 푸비니–슈투디 계량은 양자 역학의 기하학에 대한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 페이즈 효과를 포함한 양자 역학의 특이한 동작의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특성에 기인할 수 있다.
일 때, 입체 사영으로 주어지는 미분 동형 사상
이 있다. 이것은 "특별한" 호프 올화
로 이어진다. 푸비니–슈투디 계량이
의 좌표로 작성될 때 실 접다발에 대한 제한은
의 반지름 1/2(및 가우스 곡률 4)의 일반 "둥근 계량" 표현을 생성한다.
즉, 만약
가 리만 구
의 표준 아핀 좌표 차트이고
가
의 극좌표이면
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd4918db91be7797b269f9956ca0ed80e58e609)
가 성립한다. 여기서
는 단위 구면의 둥근 계량이다. 이때,
는 입체 사영
,
에서 오는
에 대한 "수학자의 구면 좌표계"이다.
이에 대한 켈러 형식은
![{\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda5c6b32daac25e2768ecdd53bfb95a6d20839d)
이다. 비어바인으로
,
를 선택하면, 켈러 형식은 다음과 같이 단순화된다.
![{\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22934c6ed2cfe9c7edb7023933702ac3d615b746)
호지 별 연산자를 켈러 형식에 적용하면 다음을 얻는다.
![{\displaystyle *K=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746d96e7783873f37bfca034e19b06df1f47daed)
이는
가 조화형식이라는 것을 암시한다.
복소 사영 평면
에 대한 푸비니-슈투디 계량은 중력 순간자의 중력 아날로그로 제안되었다.[3][1] 적절한 4차원 실수 좌표가 설정되면 계량, 접속 형식 및 곡률을 쉽게 계산할 수 있다. 실수 데카르트 좌표를
로 쓴 경우 4차원 구(사원수 사영 직선)에서 극좌표 제 1형식을 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a266d268e485c96528f07d5e0d5e473bb6ddfda5)
는 리 군
의 표준 왼쪽 불변 제 1형식 좌표계이다. 즉,
의 순환에 대해
이 성립한다.
해당 국소적 아핀 좌표는 다음과 같다.
,
. 그러면,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})\\\left({\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}\right)^{2}&=r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d70e49b32a3b12d2d0992fff7975797e9da51be)
일반적인 약자로
,
.
이전에 주어진 표현식으로 시작하는 선 요소는 다음과 같이 지정된다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836598f5dfb3aea2b94f9dddb2844837f2a9cb74)
비어바인들은 마지막 표현에서 즉시 읽을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5ef469652d095e268e18ed5b1a09b70f6af6b7)
즉, 비어바인 좌표계에서 로마자 첨자를 사용하면 계량 텐서는 유클리드이다.
![{\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386542f71970ec70f1fadb35b4e6660be4556fe8)
비어바인이 주어지면 스핀 접속을 계산할 수 있다. 레비치비타 스핀 접속은 비틀림이 없고 공변적으로 상수인 유일한 접속이다. 즉, 비틀림 없는 조건
![{\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbcf654f0362eed01997d8121701d87da8a237c)
을 만족하는 제 1형식
이다. 그리고 공변적으로 일정하며, 이는 스핀 접속의 경우 비어바인 첨자에서 비대칭임을 의미한다.
![{\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5730d38b0595a46c9335fd885a444d79750669)
위의 내용은 쉽게 해결된다:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba1438ccb620e871c7208e7245cc67ea193e8a4)
곡률 제 2형식은
![{\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c614bcd15fec707ab87a760a5b2661cd4dd0aa3)
과 같이 정의되고 상수이다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536cbb28a165dbbf6e5dfc4102063eb5481a82c6)
비어바인 첨자의 리치 텐서는 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d796c32cb750f763c04ea216defcf14d13fa92)
여기서 곡률 2형은 4개 성분 텐서로 확장되었다.
![{\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\frac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95027d82c7e8075a2afe895ae021b638f7cab41)
결과적으로 리치 텐서는 상수이다.
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ffcf6eaf842d5bbd721d4f0a9eb0ed20c07138)
따라서 아인슈타인 방정식
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\frac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6785605a0f3b4bdc5047a85216c39516e35a7feb)
은 우주상수
로 풀 수 있다.
일반적으로 푸비니–슈투디 계량에 대한 바일 텐서는 다음과 같이 제공된다.
![{\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70541232a50a2dc48ce53f1f6637fe352eae9a04)
일 때, 제 2형식
![{\displaystyle W_{ab}={\frac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56192309057b6b6ac8f5ecf5fff0c7f35199a336)
들은 자기 쌍대적이다:
![{\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0c611e06e479505f8ef034698c96dd58ed8e3e)
인 특별한 경우에, 푸비니–슈투디 계량은 2차원 구의 둥근 계량(주어진 반지름 R이 단면 곡률
을 가짐)과의 동등성에 따라 일정한 단면 곡률 4를 가진다. 그러나 n > 1인 경우 푸비니–슈투디 계량은 일정한 곡률을 갖지 않는다. 그 단면 곡률은 대신 방정식[4]에 의해 제공된다.
![{\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8972caf220b753a776a45aa0bbdcbdf2589fc58a)
여기서
는 2차원 평면
의 직교 정규 기저이고,
는
의 복소 구조이고,
는 푸비니–슈투디 계량이다.
이 공식의 결과는 단면 곡률이 모든 2차원 평면
에 대해
을 충족한다는 것이다. 최대 단면 곡률(4)은 J (σ) ⊂ σ인 정칙 2차원 평면에서 달성되는 반면 최소 단면 곡률(1)은 J (σ)가 σ에 직교하는 2차원 평면에서 달성된다. 이러한 이유로 푸비니–슈투디 계량은 종종 4와 같은 "일정한 정칙 단면 곡률"을 갖는다고 한다.
이것은
을 (엄격하지 않은) 쿼터 핀치 다양체로 만듭니다. 어떤 유명한 정리는 엄격하게 1/4 핀치로 단일 연결 n -다양체가 구에 대해 동형이어야 함을 보여준다.
푸비니–슈투디 계량은 자신의 리치 텐서에 비례한다는 점에서 아인슈타인 계량이기도 하다. 모든 i, j 에 대해
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c304e8c8870561209e358a57928756b04a1334)
인 상수
가 존재한다. 이것은 무엇보다도 푸비니–슈투디 계량이 리치 흐름 에서 스칼라 곱를 제외하고 바뀌지 않은 상태로 유지됨을 의미한다. 이 사실은 또한 진공 아인슈타인 장 방정식에 대한 자명하지 않은 해의 역할을 하기 때문에 일반 상대성 이론에
을 필수 불가결하게 만든다.
에 대한 우주 상수
의 경우 공간의 차원으로 표시된다.
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462901563132a2874d2ec666ba94df7f8c8afc14)
푸비니–슈투디 계량에는 분리 가능성에 대한 일반적인 개념이 적용된다. 보다 정확하게는 계량은 사영 공간의 자연적 곱인 세그레 매장에서 분리할 수 있다. 만약
가 분리 가능한 상태이어서
과 같이 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합이다.
![{\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4763c70ba0dc0e696bc56af8010e1802e5317e)
여기서
와
는 부분 공간 A와 B의 계량이다.
계량이 켈러 퍼텐셜에서 유도될 수 있다는 사실은 크리스토펠 기호와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 포함하고 특히 간단한 형식으로 제공될 수 있음을 의미하다.[5] 국소적 아핀 좌표에서 크리스토펠 기호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841fb08c80966e2bfe298f3724d01e3132713d42)
리만 텐서는 특히 간단하다.
![{\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795182a0c1a08b6097e9c099272c973d1d5a7653)
리치 텐서는
![{\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ba7a45e3795c7c3ca6d53182f4ffcc1fb56885)
1904년에 귀도 푸비니가,[6] 1905년에 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디(독일어: Christian Hugo Eduard Study)가[7] 독자적으로 발견하였다.
- ↑ 가 나 Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). “Gravitation, gauge theories and differential geometry”. 《Physics Reports》 (Elsevier BV) 66 (6): 213–393. Bibcode:1980PhR....66..213E. doi:10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN 0370-1573.
- ↑ 가 나 Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics" (2010), Physics Letters A 374 pp. 4801. doi 10.1016/j.physleta.2010.10.005
- ↑ Eguchi, Tohru; Freund, Peter G. O. (1976년 11월 8일). “Quantum Gravity and World Topology”. 《Physical Review Letters》 (American Physical Society (APS)) 37 (19): 1251–1254. Bibcode:1976PhRvL..37.1251E. doi:10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN 0031-9007.
- ↑ Sakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.
- ↑ Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, "Visualizing the K3 Surface[깨진 링크(과거 내용 찾기)]" (2006)
- ↑ Fubini, Guido (1904). “Sulle metriche definite da una forma Hermitiana. Nota”. 《Atti dell'Istitituto Veneto di Scienze》 (이탈리아어) 63: 501–513. JFM 35.0142.02.
- ↑ Study, Eduard (1905년 9월). “Kürzeste Wege im komplexen Gebiet”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60 (3). doi:10.1007/BF01457616. JFM 36.0614.02.