바일 곡률 텐서

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바일 곡률 텐서(영어: Weyl curvature tensor)는 리만 다양체곡률을 나타내는 완전 무대각합 (totally trace-free) 4-텐서장이다. 리만 곡률 텐서에서 리치 곡률 텐서에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다. 4차원 이상에서는, 바일 곡률 텐서가 0인 것은 다양체가 등각평탄(영어: conformally flat)할 필요충분조건이다. 일반 상대성 이론에서는 중력파를 나타낸다.

정의[편집]

n차원 리만 다양체의 바일 텐서 는 다음과 같다.

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여기서 계량 텐서, 리만 곡률 텐서, 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률이다. 는 (0,2)-텐서의 쿨카르니-노미즈(영어: Kulkarni–Nomizu) 곱으로서, 다음과 같다.

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국소 좌표로 쓰면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 쓰자.)

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성질[편집]

바일 곡률 텐서를 (3,1)-텐서로 나타내자.

그렇다면 이 텐서는 바일 변환 (등각 변환) 에 대하여 불변이다. 반면 리만 곡률 텐서 전체나 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률은 바일 변환에 대하여 복잡하게 변환한다.