사용자:Kobmuiv/그라스마니안

수학에서 그라스마니안 ${\text{Gr}}(k,V)$은 $n$차원 선형 공간 $V$의 모든 $k$ 차원 선형 부분 공간을 매개변수화하는 공간이다. 예를 들어 그라스마니안 ${\text{Gr}}(1,V)$는 $V$에서 원점을 통과하는 선들의 공간이므로 $V$ 보다 한 차원 낮은 사영 공간과 동일하다.

$V$가 실수 또는 복소수 선형 공간인 경우 그라스마니안은 콤팩트 매끄러운 다양체이다. 일반적으로 그들은 $k(n-k)$ 차원 매끄러운 대수적 다형체의 구조를 가지고 있다.

자명하지 않은 그라스마니안에 대한 최초의 작업은 ${\text{Gr}}(2,\mathbb {R} ^{4})$에 해당하는 사영 3-공간에서 사영 직선 집합을 연구하고 현재 플뤼커 좌표라고 하는 것으로 매개변수화한 율리우스 플뤼커에 의한 것이다. 헤르만 그라스만은 나중에 일반적으로 개념을 도입했다.

그라스마니안에 대한 표기법은 저자마다 다르다. 표기법에는 ${\text{Gr}}_{k}(V)$, ${\text{Gr}}(k,V)$, ${\text{Gr}}_{k}(n)$ 또는 ${\text{Gr}}(k,n)$ 포함되어 $n$ 차원 선형 공간 $V$의 $k$ 차원 부분 공간의 그라스마니안을 나타낸다.

도입

어떤 선형 공간의 부분 공간들의 모임에 위상 구조를 부여함으로써 부분 공간의 연속적인 선택 또는 부분 공간의 열린 또는 닫힌 모임에 대해 이야기할 수 있다. 미분 다양체의 구조를 제공함으로써 부분 공간의 매끄러운 선택에 대해 이야기할 수 있다.

자연적인 예는 유클리드 공간에 매장된 매끄러운 다양체의 접다발에서 나온다. $\mathbb {R} ^{n}$에 매장된 $k$ 차원 다양체 $M$있다고 가정한다. $M$의 각 점 $x$에서 $M$에 대한 접공간은 $\mathbb {R} ^{n}$의 접공간의 부분 공간($\mathbb {R} ^{n}$)으로 간주될 수 있다. $x$에 접공간을 할당하는 사상은 $M$에서 ${\text{Gr}}(k,n)$로 가는 사상을 정의한다. (이를 위해 각 $x\in M$에서 접공간을 변환하여 $x$가 아닌 원점을 통과하도록 해야 하며 따라서 $k$ 차원 벡터 부분 공간을 정의한다. 이 아이디어는 3차원 공간의 곡면에 대한 가우스 사상과 아주 비슷하다.)

이 아이디어는 약간의 노력으로 다양체 $M$ 위의 모든 선형 다발로 확장될 수 있으므로 모든 선형 다발은 $M$ 에서 적절하게 일반화된 그라스마니안로 연속 사상을 생성한다. 이를 보여주기 위해서는 다양한 매장 정리가 입증되어야 한다. 그런 다음 선형 다발의 속성이 연속 사상으로 표시되는 해당 사상의 속성과 관련되어 있음을 확인한다. 특히 우리는 그라스마니안에 호모토피 사상을 유도하는 선형 다발이 동형임을 발견했다. 여기에서 호모토피의 정의는 연속성, 따라서 위상의 개념에 의존한다.

낮은 차원

$k=1$의 경우 그라스마니안 ${\text{Gr}}(1,n)$는 $n$ 차원 공간에서 원점을 통과하는 선들의 공간이므로 $n-1$ 차원의 사영 공간과 동일하다.

$k=2$인 경우 그라스마니안은 원점을 포함하는 모든 2차원 평면의 공간이다. 유클리드 3-공간에서 원점을 포함하는 평면은 해당 평면에 수직인 원점을 통과하는 유일한 선(및 그 반대)으로 완전히 특성화된다. 따라서 공간 ${\text{Gr}}(2,3)$, ${\text{Gr}}(1,3)$, 사영 평면 P²는 모두 같다.

사영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스마니안은 ${\text{Gr}}(2,4)$이다.

집합으로서 그라스마니안의 기하학적 정의

$V$를 체 K 위의 $n$ 차원 선형 공간이라고 하자. 그라스마니안 ${\text{Gr}}(k,V)$는 $V$의 모든 $k$ 차원 선형 부분 공간들의 집합이다. 그라스마니안은 또한 ${\text{Gr}}(k,n)$ 또는 ${\text{Gr}}_{k}(n)$로 표시된다.

미분가능 다양체로서의 그라스마니안

그라스마니안 ${\text{Gr}}_{k}(V)$에 미분 다양체의 구조를 부여하기 위해 $V$에 대한 기저를 선택하자. 이것은 열 벡터 $(e_{1},\dots ,e_{n})$과 같이 표시되는 표준 기저를 통해 $V=K^{n}$으로 식별하는 것과 동일하다. 그런 다음 ${\text{Gr}}_{k}(V)$의 원소로 볼 수 있는 임의의 $k$ 차원 부분 공간 $w\subset V$에 대해 $k$ 선형 독립 열 벡터들 $W_{1},\dots ,W_{k}$로 구성된 기저를 선택할 수 있다. 원소 $w\in {\text{Gr}}_{k}(V)$의 동차 좌표는 $W_{i}$, $i=1,\dots ,k$가 열벡터인 최대 랭크를 가진 $n\times k$ 행렬 $W$의 성분들로 이뤄져 있다. 기저의 선택은 임의적이므로 두 개의 최대 랭크 행렬 $W$과 ${\tilde {W}}$는 성분이 K의 원소인 $k\times k$ 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군의 어떤 원소 $g\in {\text{GL}}(k,K)$에 대해 ${\tilde {W}}=Wg$가 성립하는 경우에, 그리고 그때에만 동일한 원소 $w\in {\text{Gr}}_{k}(V)$를 나타낸다.

이제 좌표 아틀라스를 정의한다. 임의의 $n\times k$ 행렬 $W$ 에 대해 기본 열 연산을 적용하여 축약된 열 사다리꼴 행렬을 얻을 수 있다. $W$의 처음 $k$ 행이 선형 독립인 경우 결과는 다음 행렬이다.

$${\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}.$$

$(n-k)\times k$ 행렬 $A=(a_{ij})$은 $w$를 결정한다. 일반적으로 첫 번째 $k$행은 독립적일 필요는 없지만 랭크가 $k$인 $W$의 경우, $W$의 $i_{1},\ldots ,i_{k}$ 번째 행으로 구성된 부분행렬 $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$은 비특이인 정렬된 정수 집합$1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$이 존재한다. 열 연산을 적용하여 이 부분행렬을 항등원으로 축약 할 수 있으며 나머지 성분은 유일하게 $w$에 해당한다. 따라서 다음 문단과 같은 정의가 있다:

순서가 지정된 각 정수 집합 $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$,에 대해, $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$를 $k\times k$ 부분 행렬 $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$이 특이행렬이 아닌 $n\times k$ 행렬 $W$들의 집합이라 하자. 여기서 $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$의 j번째 행은 $W$의 i_j 번째 행이다. $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ 위의 좌표 함수는 $W$를 행이 행렬 $WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}$의 행인 $(n-k)\times k$ 직사각형 행렬로 보내는 사상 $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$으로 정의된다. 보완 $(i_{1},\dots ,i_{k})$ . 원소 $w\in {\text{Gr}}_{k}(V)$ 나타내는 동차 좌표 행렬 $W$의 선택은 좌표 행렬의 값에 영향을 주지 않는다. $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ 좌표 이웃에서 $w$ 나타내는 $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$. 또한, 좌표 행렬 $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ 임의의 값을 취할 수 있으며 다음에서 미분 동형 사상을 정의한다. $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ K 값 $(n-k)\times k$ 행렬의 공간에.

두 좌표 이웃들의 교집합

$$U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}$$

에서 좌표 행렬 값은 추이 관계

$$A^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}=A^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}}$$

에 의해 관련된다. 여기서 $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$, $W_{j_{1},\dots ,j_{k}}$는 둘 다 가역이다. 따라서 추이 함수는 다항식의 몫이라도 미분 가능하다. 따라서 $(U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}})$는 ${\text{Gr}}_{k}(V)$의 아틀라스를 미분 가능 또는 심지어 대수적 다형체으로 제공한다.

직교 사영 집합으로서 그라스마니안

실수 다양체로서 실수 또는 복소수 그라스마니안을 정의하는 다른 방법은 전체 순위의 명시적 방정식으로 정의되는 명시적 직교 사영 집합로 간주하는 것이다( Milnor & Stasheff (1974) 문제 5-C). 이를 위해 $V$의 스칼라 체가 실수인지 복소수인지에 따라 양의 정부호 실수 또는 에르미트 내적 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$을 선택한다. $k$ 차원 부분공간 $U$는 이제 랭크 $k$인 유일한 직교 사영 $P_{U}$을 결정한다. 반대로 모든 랭크 $k$인 사영 $P$는 해당 이미지 $U_{P}=\mathrm {Im} (P)$로 부분 공간을 정의한다. 사영의 경우 랭크는 대각합와 같으므로 그라스마니안을 명시적인 사영 집합으로 정의할 수 있다.

$$\mathrm {Gr} (k,V)=\left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{*},\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}$$

특히 $V=\mathbb {R} ^{n}$ 또는 $V=\mathbb {C} ^{n}$로 놓으면 이것은 각각의 행렬 공간 $\mathbb {R} ^{n\times n}$, $\mathbb {C} ^{n\times n}$에 그라스마니안을 매장하기 위한 완전히 명시적인 방정식을 제공한다.

이것은 그라스마니안을 구의 닫힌 부분 집합으로 정의하므로 $\{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{*})=k\}$ 이것은 그라스마니안이 콤팩트 하우스도르프임을 확인하는 한 가지 방법이다. 이 구성은 또한 그라스마니안을 거리 공간으로 만든다. $V$의 부분 공간 $W$에 대해 P_W를 $W$ 에 대한 $V$의 사영이라고 하자. 그러면,

$$d(W,W')=\lVert P_{W}-P_{W'}\rVert .$$

여기서 $|\cdot |$는 연산자 노름을 나타내며 ${\text{Gr}}(r,V)$에 대한 거리이다. 사용된 정확한 내적은 중요하지 않다. 왜냐하면 다른 내적은 $V$에 대해 동등한 노름을 제공하고 따라서 동등한 거리을 제공하기 때문이다.

동차 공간으로서의 그라스마니안

그라스마니안에 기하학적 구조를 부여하는 가장 빠른 방법은 동차 공간으로 표현하는 것이다. 먼저 일반 선형 군 $\mathrm {GL} (V)$이 $r$ 차원 부분 공간 $V$에 추이적으로 작용한다. 따라서 만약 $W\subset V$가 $r$ 차원 선형 공간 $V$의 부분공간이고 $H=\mathrm {stab} (W)$가 이 작용에서 안정자 집합이면,

$\mathrm {Gr} (r,V)=\mathrm {GL} (V)/H$

가 성립한다. 기본 체가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$이고 $\mathrm {GL} (V)$가 리 군으로 여겨지면 이 구성은 그라스마니안을 매끄러운 다양체로 만든다. 더 일반적으로, 기저 체 $k$ 위에서, 군 $\mathrm {GL} (V)$는 대수적 군이며, 이 구성은 그라스마니안이 비특이 대수적 다형체임을 보여준다. 플뤼커 매장의 존재로 인해 그라스마니안이 대수적 다형체로서 완비이다. 특히, $H$는 $\mathrm {GL} (V)$의 포물선 부분군이다.

$\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 위에 이 구성을 만들기 위해 다른 군을 사용하는 것도 가능하다. 이 일을 끝내려면 $\mathbb {R}$-선형공간 $V$ 에 내적 $q$를 고정한다. 직교 군 $O(V,q)$는 $k$ 차원 부분 공간 집합 ${\text{Gr}}(k,V)$에 추이적으로 작용한다. $k$ -공간 $W$의 안정자는 $O(W,q|_{W})\times O(W^{\perp },q|_{W^{\perp }})$이다. 이것은 동차 공간

$\mathrm {Gr} (r,V)=O(V,q)/\left(O(W,q|_{W})\times O(W^{\perp }q|_{W^{\perp }})\right)$ .

으로서의 설명을 제공한다. 만약 $V=\mathbb {R} ^{n}$,$W=\mathbb {R} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}$로 둔다면 동형 사상

$\mathrm {Gr} (r,n)=O(n)/\left(O(r)\times O(n-r)\right)$

을 얻는다. C 위에서도 마찬가지로 에르미트 내적 $h$을 선택한다. 그리고 유니터리 군 $U(V,h)$가 추이적으로 작용하고 비슷하게

$\mathrm {Gr} (r,V)=U(V,h)/\left(U(W,h|_{W})\times U(W^{\perp }|_{W^{\perp }})\right)$

를 찾는다. 또는 $V=\mathbb {C} ^{n}$, $W=\mathbb {C} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{n}$에 대해

$\mathrm {Gr} (r,n)=U(n)/\left(U(r)\times U(n-r)\right)$

특히, 이는 그라스마니안이 콤팩트이고 (실수 또는 복소수) 그라스마니안의 (실수 또는 복소수) 차원이 $r(n-r)$임을 다시 보여준다.

스킴으로서의 그라스만

대수 기하학에서, 그라스마니안은 이를 표현 가능 함자로 표현함으로써 스킴으로 구성 될 수 있다.

표현 가능 함자

${\mathcal {E}}$를 스킴 $S$에서 준연접층이라 하자. 양의 정수 $r$을 고정한다. 그런 다음 각 $S$-스킴 $T$에 그라스마니안 함자는 다음의 몫 가군 집합을 연결한다.

$${\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}$$

$T$에서 랭크 $r$ 국소 자유 가군이 된다. 이 집합를 $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}_{T})$로 나타낸다.

이 함자는 분리된 $S$-스킴 $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})$로 나타낼 수 있다. 후자는 ${\mathcal {E}}$가 유한하게 생성되면 사영적이다. $S$가 체 $k$ 의 스펙트럼이면 다발 ${\mathcal {E}}$는 선형 공간 $V$에 의해 주어지고 우리는 $V$의 쌍대 공간의 일반적인 그라스만 다형체, 즉, ${\text{Gr}}(r,V^{*})$를 복구한다.

구성에 따라 그라스마니안 방식은 기본 변경과 호환된다. 모든 $S$-스킴 $S'$에 대해 표준 동형

$$\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}_{S'})$$

특히, $S$의 임의의 점 $s$에 대해 표준 사상 $\{s\}={\text{Spec}}(k(s))\rightarrow S$는 올 $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})_{s}$에서 일반적인 나머지 체 $k(s)$에 대한 그라스마니안$\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}k(s))$으로 가는 동형 사상을 유도한다.

보편 족

그라스만 스킴은 함자를 나타내므로 보편 대상 ${\mathcal {G}}$과 함께 제공된다. ${\mathcal {G}}$는

$$\mathbf {Gr} \left(r,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}\right)$$

의 대상이다. 따라서 ${\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}$의 몫 가군 ${\mathcal {G}}$는 $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})$ 위의 랭크 $r$ 국소 자유 가군이다. 몫 준동형 사상은 사영 다발 $\mathbf {P} ({\mathcal {G}})$에서 닫힌 매몰을 유도한다:

$$\mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}}).$$

$S$-스킴의 모든 사상:

$$T\to \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})$$

에 대해, 이 닫힌 몰입은 닫힌 몰입을 유도한다.

$$\mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T$$

반대로, 그러한 닫힌 몰입은 ${\mathcal {E}}_{T}$에서 랭크 $r$의 국소적 자유 가군으로 가는 $O_{T}$-가군의 전사 동형에서 비롯된다. 따라서, $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(T)$의 원소들은

$$\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T$$

에서 정확히 랭크 $r$의 사영 부분 다발이다. 이 식별에서 $T=S$는 체 $k$의 스펙트럼이고 ${\mathcal {E}}$는 선형 공간 $V$에 의해 주어지며, 유리점의 집합 $\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(k)$는 $\mathbf {P} (V)$의 $r-1$ 차원 $r-1$사영 선형 부분공간에 해당하고

$$\mathbf {P} (V)\times _{k}\mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})$$

안의 $\mathbf {P} ({\mathcal {G}})(k)$의 상은 집합

$$\left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(k)\times \mathbf {Gr} (r,{\mathcal {E}})(k)\mid x\in v\right\}$$

이다.

플뤼커 매장

플뤼커 매장은 그라스마니안 ${\text{Gr}}(k,V)$의 외대수 $\wedge ^{k}V$의 사영화로 자연스러운 매장이다:

$$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\wedge ^{k}V\right).$$

$W$가 n 차원 선형 공간 $V$의 $k$ 차원 부분 공간이라고 가정하자. $\iota (W)$를 정의하려면, $W$의 기저 $\{w_{1},\dots ,w_{k}\}$를 선택하고 $\iota (W)$를 다음 기저 원소들의 쐐기 곱이라 하자.

$$\iota (W)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}].$$

$W$에 대한 다른 기저는 다른 쐐기 곱을 제공하지만 두 곱은 0이 아닌 스칼라(기저 행렬 변경의 결정 요인)에 의해서만 다를 것이다. 우변은 사영 공간에서 값을 취하기 때문에, $\iota$는 잘 정의된다. $\iota$가 매장인 것을 보기 위해 $\iota$에서 $w\wedge \iota (W)=0$인 모든 벡터 집합 $w$의 생성집합으로 $W$를 복구할 수 있음에 유의하라.

플뤼커 좌표와 플뤼커 관계

그라스마니안의 플뤼커 매장은 플뤼커 관계라고 하는 아주 단순한 2차 관계를 만족시킨다. 이들은 그라스마니안이 ${\text{P}}(\wedge ^{k}V)$의 대수적 부분 다형체로 포함됨을 보여주고 그라스마니안을 구성하는 또 다른 방법을 제공한다. 플뤼커 관계를 나타내기 위해 $V$의 기저 $\{e_{1}\dots ,e_{k}\}$를 고정하고 $W$를 기저 $\{w_{1}\dots ,w_{k}\}$인 $V$의 k 차원 부분 공간이라고 하자. $(w_{i1}\dots ,w_{in})$를 $V$의 선택된 기저에 대한 $w_{i}$의 좌표라고 하자.

$${\mathsf {W}}={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}}$$

$\{W_{1},.\{W_{1},.\{W_{1},.$를 ${\mathsf {W}}$의 열들이라 하자. 양의 정수 $k$와 모든 순서 수열 $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$에 대해, $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$를 열 $W_{i_{1}},\dots ,W_{i_{k}}$이 있는 $k\times k$ 행렬의 행렬식이라 하자. 집합 $\{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}:1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}$는 그라스마니안의 원소 $W$의 ($V$의 기저 $\{e_{1}\dots ,e_{n}\}$에 대한) 플뤼커 좌표라고 한다. 이들은 플뤼커 사상에 대한 $W$의 상 $\iota (W)$의 선형 좌표이고, $V$의 기저 $\{e_{1}\dots ,e_{n}\}$에 의해 유도된 외승 $\wedge ^{k}V$의 기저에 대해 상대적이다.

순서가 지정된 두 수열 $1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n$ 과 $1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n$의 경우 의 $k-1$ 그리고 $k+1$ 각각 양의 정수인 경우 다음 동차 방정식이 유효하며 플뤼커 매장에서 ${\text{Gr}}(k,V)$의 상을 결정한다.

$$\sum _{\ell =1}^{k+1}(-1)^{\ell }W_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{\ell }}W_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{\ell }}},\dots j_{k+1}}=0$$

여기서 $j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{\ell }}},\ldots j_{k+1}$는 $j_{\ell }$항이 생략된 수열 $j_{1},\ldots ,j_{k+1}$을 나타낸다.

사영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스마니안인 ${\text{dim}}(V)=4$, $k=2$일 때 위의 식은 하나의 방정식으로 축소된다. ${\text{P}}(\wedge ^{k}V)$의 좌표를 $W_{12},W_{13},W_{14},W_{23},W_{24},W_{34}$로 나타내면 플뤼커 사상에서 ${\text{Gr}}(2,V)$의 상은 다음과 같은 단일 방정식으로 정의된다.

$W_{12}W_{34}-W_{13}W_{24}+W_{23}W_{14}=0$

그러나 일반적으로 사영 공간에서 그라스마니안의 플뤼커 매장을 정의하려면 더 많은 방정식이 필요한다.

실수 아핀 대수 다형체으로서의 그라스마니안

${\text{Gr}}(r,\mathbb {R} ^{n})$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 $r$ 차원 부분 공간의 그라스마니안이라 하자. ${\text{M}}(n,\mathbb {R} )$을 실수 $n\times n$ 행렬의 공간이라 하자. 다음 세 가지 조건이 충족되는 경우에만 $X\in A(r,n)$로 정의되는 행렬들의 집합 $A(r,n)\subset {\text{M}}(n,\mathbb {R} )$을 고려하자.

• $X$는 사영 연산자이다: .
• $X$는 대칭이다:.
• $X$의 대각합은 $r$이다.

$X\in A(r,n)$를 $X$의 열공간으로 보내는 일대일 대응으로, $A(r,n)$과 ${\text{Gr}}(r,\mathbb {R} ^{n})$은 위상 동형이다.

쌍대성

$V$의 모든 $r$ 차원 부분공간 W는 $V$의 $n-r$ 차원 몫 공간 $V/W$를 결정한다. 이것은 자연스러운 짧은 완전열을 제공한다.$0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0$이들 세 공간 각각의 쌍대를 취하고 선형 변환하면 몫 W^∗와 함께 $(V/W)^{*}$가 $V^{*}$에 포함된다.

 

유한 차원 선형 공간의 자연 동형을 이중 쌍대와 함께 사용하면 쌍대를 다시 취하는 것이 원래의 짧은 완전열를 복구함을 보여준다. 결과적으로 $V$의 $r$ 차원 부분공간과 $V^{*}$의 $n-r$ 차원 부분공간 사이에는 일대일 대응이 있다. 그라스마니안의 관점에서 이것은 정식 동형사상이다.

 ${\text{Gr}}(r,V)\rightarrow {\text{Gr}}(n-r,V^{*})$따라서 $V^{*}$와 함께 $V$의 동형사상을 선택하면 ${\text{Gr}}(r,V)$ 및 ${\text{Gr}}(n-r,V)$의 (정규가 아닌) 동형사상이 결정된다. $V$와 $V^{*}$의 동형 사상은 내적의 선택과 동일하며, 선택된 내적과 관련하여 그라스마니안의 이 동형 사상은 $r$ 차원 부분공간을 $n-r$ 차원 직교 여공간으로 보낸다.

슈베르트 세포

그라스마니안들에 대한 자세한 연구는 슈베르트 세포라는 부분 집합으로의 분해를 사용하며, 이는 열거 기하학에 처음 적용되었다. ${\text{Gr}}(r,n)$에 대한 슈베르트 세포는 보조 기로 정의된다: $V_{i}\subset V_{i+1}$인 부분 공간들 $V_{1},V_{2},\dots$를 고른다. 그런 다음 $i=1,\dots r$에 대해 최소 $i$ 차원인 $V_{i}$와 교차하는 $W$로 구성된 ${\text{Gr}}(r,n)$의 해당 부분 집합을 고려한다. 슈베르트 세포의 조작은 슈베르트 미적분학이다.

다음은 기법의 예이다. $\mathbb {R} ^{n}$의 $r$ 차원 부분공간의 그라스마니안의 오일러 특성을 결정하는 문제를 고려하자. 1 차원 부분공간 $\mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{n}$을 고정하고 $\mathbb {R}$을 포함하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 $r$ 차원 부분공간과 그렇지 않은 부분공간으로${\text{Gr}}(r,n)$을 분할하는 것을 고려하자. 전자는 ${\text{Gr}}(r-1,n-1)$이고 후자는 ${\text{Gr}}(r,n-1)$위의 $r$ 차원 선형 다발이다. 이것은 재귀 공식

$$\chi _{r,n}=\chi _{r-1,n-1}+(-1)^{r}\chi _{r,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.$$

을 제공한다. 이 점화식을 풀면 $n$이 짝수이고 $r$이 홀수인 경우에만 $\gamma _{r,n}=0$이라는 공식을 얻는다. 그렇지 않으면:

$$\chi _{r,n}={\binom {\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\left\lfloor {\frac {r}{2}}\right\rfloor }}.$$

복소 그라스마니안의 코호몰로지 환

복소 그라스마니안 ${\text{Gr}}(r,n)$의 모든 점은 $n$ 공간에서 $r$ 평면을 정의한다. 그라스마니안 평면 위에 이러한 평면을 올화하면 사영 공간의 동어반복 다발을 일반화하는 선형 다발 $E$에 도달한다. 마찬가지로 이러한 평면의 $n-r$차원 직교 여공간은 직교 선형 다발 $F$를 산출한다. 그라스마니안들의 적분 코호몰로지는 $E$의 천 특성류에 의해 환으로 생성된다. 특히, 사영 공간의 경우와 같이 모든 적분 코호몰로지가 짝수 차수이다.

이러한 생성자들은 환을 정의하는 일련의 관계를 만족한다. $E$, $F$의 천 특성류로 구성된 더 큰 생성자 집합에 대해 정의 관계를 쉽게 표현할 수 있다. 그런 다음 관계는 다발들 $E$와 $F$의 직합이 자명한 것이라고만 설명한다. 전체 천 특성류의 함자를 통해 이 관계를 다음과 같이 작성할 수 있다.

$$c(E)c(F)=1.$$

양자 코호몰로지 환은 The Verlinde Algebra And The Cohomology Of The Grassmannian에서 에드워드 위튼에 의해 계산되었다. 생성원은 고전 코호몰로지 환의 생성원과 동일하지만 top 관계는 다음과 같이 변경된다.

$$c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-r}$$

$2n$ 단위로 상태에 해당하는 코호몰로지의 정도를 위반하는 $2n$ 페르미온 제로 모드를 갖는 순간자의 해당 양자장론에서의 존재를 반영한다.

관련된 측도

$V$가 $n$ 차원 유클리드 공간일 때, ${\text{Gr}}(r,n)$에 대한 균등 측도을 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있다. $\theta _{n}$을 직교 군 ${\text{O}}(n)$에 대한 단위 하르 측도라고 하고 ${\text{Gr}}(r,n)$의 원소 W를 고정한다. 그런 다음 집합 $A\subset {\text{Gr}}(r,n)$에 대해 다음을 정의한다.

$$\gamma _{r,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gW\in A\}.$$

이 측도는 군 ${\text{O}}(n)$ 작용에 대해 불변이다. 즉, $\forall g\in {\text{O}}(n)$, $\gamma _{r,n}(gA)=\gamma _{r,n}(A)$. $\theta _{n}({\text{O}}(n))=1$이므로 $\gamma _{r,n}({\text{Gr}}(r,n))=1$이다. 더욱이, $\gamma _{r,n}$은 거리 공간 위상에 대한 라돈 측도이며 동일한 반지름(이 거리에 대해)의 모든 공이 동일한 측도라는 점에서 균일하다.

유향 그라스마니안

이것은 $\mathbb {R} ^{n}$의 모든 유향 $r$ 차원 부분 공간으로 구성된 다양체이다. ${\text{Gr}}(r,n)$의 이중 덮개이며 다음과 같이 표시된다.

$${\widetilde {\mathbf {Gr} }}(r,n).$$

동차 공간으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (r)\times \operatorname {SO} (n-r)).$$

응용

그라스마니안들의 주요 응용은 콤팩트 다양체의 접속이 있는 다발을 위한 "보편" 매장 공간이다.

Kadomtsev–Petviashvili 방정식의 해는 무한 차원 그라스마니안에서 아벨 군 흐름으로 표현될 수 있다. 타우 함수(적분 가능 계) 측면에서 히로타 쌍선형 형식으로 표현되는 KP 방정식은 플뤼커 관계식과 동일하다. 양의 그라스마니안은 KP 흐름 매개변수의 실제 값에 대해 특이하지 않은 KP 방정식의 솔리톤 해를 표현하는 데 사용할 수 있다.

그라스마니안은 비디오 기반 얼굴 인식 및 모양 인식의 컴퓨터 비전 작업에서 응용을 찾았다. 또한 그랜드 투어로 알려진 데이터 시각화 기술에도 사용된다.

그라스마니안은 아원자 입자의 산란 진폭이 진폭 면체라고 하는 양의 그라스마니안 구조를 통해 계산되도록 한다.

같이보기

• 슈베르트 미적분학
• 미분 기하학에서 그라스마니안들을 사용하는 예는 가우스 사상을 참조하고 사영 기하학에서는 플뤼커 좌표를 참조.
• 기 다양체는 그라스마니안의 일반화이며 Stiefel 다양체는 밀접하게 관련되어 있다.
• 구별되는 부분 공간 족이 주어지면 라그랑주 그라스마니안과 같은 이러한 부분 공간의 그라스마니안을 정의할 수 있다.
• 그라스마니안들은 K이론에서 분류 공간, 특히 U( <i id="mwAo4">n</i> )에 대한 분류 공간을 제공한다. 스킴 호모토피 이론에서 그라스마니안은 대수적 K-이론 에 대해 비슷한 역할을 한다.
• 그라스만 다발
• 그라스만 그래프

더 읽어보기

A Grassmann Manifold Handbook: Basic Geometry and Computational Aspects, Zimmermann, Bendokat and Absil.

참조

• Hatcher, Allen (2003). 《Vector Bundles & K-Theory》 2.0판.  section 1.2
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies 76. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.  see chapters 5–7
• Harris, Joe (1992). 《Algebraic Geometry: A First Course》. New York: Springer. ISBN 0-387-97716-3. 
• Helgason, Sigurdur (1978), 《Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces》, Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9 
• 틀:Lee Introduction to Smooth Manifolds
• Mattila, Pertti (1995). 《Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces》. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1. 
• Shafarevich, Igor R. (2013). 《Basic Algebraic Geometry 1》. Springer Science. doi:10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.