기 (수학)

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3차원 공간 속의 완비기

대수기하학에서, (旗, 영어: flag 플래그[*])는 벡터 공간 속의 부분 벡터 공간들로 구성된 여과이다.

정의[편집]

위의 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 속의 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

여기서 각 의 부분 -벡터 공간이다. 즉, 의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.

만약 가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 인 기를 완비기(完備旗, 영어: complete flag)라고 한다.

속의, 차원들이 인 기들의 모듈라이 공간

기 대수다양체(旗代數多樣體, 영어: flag variety)라고 한다. 이는 -사영 대수다양체를 이룬다.

성질[편집]

-벡터 공간 개 성분의 기 들의 공간 위에는 일반 선형군 가 다음과 같이 작용한다.

이 작용에 대한 안정자군을 기 안정자군이라고 한다.

유한 차원 벡터 공간 속의 기의 안정자군은 일반 선형군 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 보렐 부분군이다.

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유한 차원 -벡터 공간 기저 를 잡고, 표준기(標準旗, 영어: standard flag)

를 생각하자. 그렇다면, 그 안정자군은 다음과 같이 가역 상삼각 행렬들로 구성된다.

역사[편집]

속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화된다. 이 경우, 깃봉(그림의 황색 장식) · 깃대 · 깃발은 기의 성분에 해당한다.

“기”(프랑스어: drapeau 드라포[*])라는 용어는 이미 1955년에 아르망 보렐이 사용하였다.[1]:234, §5.1 “기”라는 단어의 어원은 다음과 같다. 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.

3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.

  • 원점은 깃봉(깃대의 끝의 장식)이다.
  • 직선은 깃대를 연장하여 얻는 직선이다.
  • 평면은 깃발을 연장하여 얻는 평면이다.
  • 3차원 공간은 공간 전체이다.

이에 따라, 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Borel, Armand (1955년 12월). “Groupes algébriques”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 121 (121): 229–238. MR 1611387. Zbl 0116.26201. 

외부 링크[편집]