가역행렬

선형대수학에서 가역 행렬(可逆行列, 영어: invertible matrix) 또는 정칙 행렬(正則行列, 영어: regular matrix) 또는 비특이 행렬(非特異行列, 영어: non-singular matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다.

정의

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A,B$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 이 조건이 성립할 경우 $B$를 $A$의 역행렬이라고 하며, $B$를 $A^{-1}$와 같이 표기한다.

• $AB=I_{n}$
• $BA=I_{n}$
• $AB=BA=I_{n}$

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $A$를 가역 행렬이라고 한다.

• 역행렬을 갖는다.
• 유일한 역행렬을 갖는다.
• 유한 개의 기본 행렬의 곱이다.
• 단위 행렬과 행동치이다.
• 단위 행렬과 열동치이다.
• 단위 행렬과 동치이다.
• 방정식 $Ax=0$의 해는 $x=\mathbf {0}$뿐이다. 즉 $\ker A=\left\{\mathbf {0} \right\}$이다.
• 방정식 $Ax=b$의 해는 $b$의 값과 무관하게 항상 유일하다.
• $A$의 열이 $K^{n}$의 기저를 이룬다.
• $\det A\neq 0$ (여기서 $\det$는 행렬식이다.)
• $\operatorname {rank} A=n$ (여기서 $\operatorname {rank}$는 계수이다.)
• $\operatorname {null} A=0$ (여기서 $\operatorname {null} A:=\dim {\ker A}$이다.)
• 0을 고윳값으로 가지지 않는다.

성질

전치 행렬과의 관계

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 가역 행렬이다.
• $A^{\operatorname {T} }$는 가역 행렬이다.
• $AA^{\operatorname {T} }$는 가역 행렬이다.

항등식

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A,B$에 및 스칼라 $k\in K$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

즉, 체 $K$ 위의 $n\times n$ 가역 행렬의 집합은 군을 이루며, 이를 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;K)$이라고 한다. 또한, 역행렬은 일반선형군의 자기 반대 동형을 정의한다.

계산

가우스 소거법

가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는 $mn\times mn$ 행렬을 $n\times n$을 원소로 갖는 $m\times m$ 행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.

수치해석적 방법

행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.

$A^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{j1}\\C_{12}&\ddots &&C_{j2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\C_{1i}&\cdots &\cdots &C_{ji}\\\end{pmatrix}}$
여기서 $i+j$가 홀수일 때 이고($C_{ji}=-M_{ji}$) $i+j$가 짝수일 때 ($C_{ji}=M_{ji}$)이다. 즉,$C_{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}$이다.

여기서 $|A|$는 $A$의 행렬식을 가리키고 $C_{ij}$는 행렬의 공통인자,$M_{ij}$는 행렬의 소행렬식, $A^{T}$는 $A$의 전치행렬을 가리킨다.

수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.

2 × 2 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

3 × 3 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&-(bi-ch)&bf-ce\\-(di-fg)&ai-cg&-(af-cd)\\dh-eg&-(ah-bg)&ae-bd\end{bmatrix}}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}$

$|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=-d(bi-ch)+e(ai-cg)-f(ah-bg)=g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd)\$

작은 블록으로 나눠서 계산하는 법

다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬로 나누어 계산할 수 있다.

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}$

$A,B,C,D$는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은 $A$가 대각행렬이고 $A$의 슈어 보수행렬 $(D-CA^{-1}B)$이 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.

역행렬의 도함수

행렬 $A$가 $t$라는 변수에 따라 변한다고 하자. 이때 $A$의 역행렬의 도함수는 다음과 같다.

${\frac {\mathrm {d} A^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-A^{-1}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}A^{-1}.$

역행렬과 행렬의 나눗셈

행렬$A$ 와 $B$에서,

${{A} \over {B}}=A\cdot B^{-1}$ 이고, $A\cdot B^{-1}\neq B^{-1}\cdot A$이다.

${{A} \over {B^{-1}}}=A\cdot B$이다.

스칼라 행렬$k$는,

${{A} \over {k}}=A\cdot k^{-1}$ 이고, $A\cdot k^{-1}=k^{-1}\cdot A$이다.

대각화행렬에서는

임의의 행렬 A를 예약하고 고윳값 행렬 P를 조사하고 P의 역행렬 P^-1를 통해서,

$P^{-1}AP=A^{D}$

대각화 행렬 A^D를 얻을수있다. 여기서,

$AP={{A^{D}} \over {P^{-1}}}$

$AP={P}{A^{D}}$

처럼 대각화행렬에서는 역행렬의 나눗셈 성질을 갖는다.

같이 보기

• 크라메르 공식
• 전치행렬
• 대칭행렬
• 사다리꼴행렬
• 특이값 분해
• QR 분해
• 치환행렬

외부 링크

• 역행렬 계산기