전단사 함수

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전단사 함수의 예

수학에서, 전단사 함수(全單射函數, 영어: bijection, bijective function)는 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 함수이다. 일대일 대응이라고도 한다.

정의[편집]

집합 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전단사 함수라고 한다.

성질[편집]

두 집합 XY 사이에 전단사 함수가 존재한다면, X집합의 크기Y집합의 크기는 같다.

크기가 같은 두 유한 집합 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, \mathbb N\to\mathbb N, n\mapsto n+1은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합 X 위의 전단사 함수 X\to X들의 집합은 대칭군 \operatorname{Sym}(X)라는 을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 자기 동형군이다.

유한 집합 X 위에서, 집합 Y로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.

\begin{cases}|X|!&|X|=|Y|\\0&|X|\ne|Y|\end{cases}

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]