거울 대칭

끈 이론과 호몰로지 대수학에서, 거울 대칭(mirror symmetry)은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 끈 이론이 서로 동형인 현상이다.^:411–415 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 6차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

거울 대칭에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 $M$에 대하여, 이에 대응하는 공간 $W$가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 $H^{p,q}$는 다음 관계를 만족한다.

$H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)$.

이에 따라, $M$에 축소화한 IIA형 초끈 이론은 $W$에 축소화한 IIB형 초끈 이론과 동형이다.

2차원 게이지 선형 시그마 모형

거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(vector supermultiplet)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(chiral supermultiplet), 그리고 비틀린 손지기 초다중항(twisted chiral supermultplet)을 이루는 장세기(field strength)의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로(틀:Ja-y)와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.^:463–479

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model)에 대응한다.

3차원 게이지 이론

3차원 $N=4$ 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어(영어: Kenneth Intriligator)와 나탄 자이베르크가 1996년에 제안하였다. 이에 따라, 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간의 쿨롱 가지(Coulomb branch)는 이에 대응하는 모형의 모듈러스 공간의 히그스 가지(Higgs branch)에 대응한다. 아미하이 하나니(히브리어: עמיחי חנני)와 에드워드 위튼은 곧 이는 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다.

스트로민저-야우-재슬로 가설

스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설(영어: Strominger–Yau–Zaslow conjecture)은 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다. SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 n차원 칼라비-야우 다양체는 Tⁿ (실수 n차원 원환면) 올화(영어: fibration)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑지언 부분다양체(special Lagrangian submanifold)를 이룬다. 거울 대칭쌍 $X,Y$는 같은 공간 $B$ 위의 원환면 올다발 $\pi _{X}\colon X\to B$, $\pi _{Y}\colon Y\to B$를 이루며, 임의의 올 $b\in B$에 대하여 $X_{b}=\pi _{X}^{-1}(b)$와 $Y_{b}=\pi _{Y}^{-1}(b)$는

$X_{b}=H^{1}(Y_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

$Y_{b}=H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

의 관계를 가진다. 이는 n차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다. 이는 큰 복소 구조 극한(영어: large complex structure limit)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) $\mathbb {C} /(0\sim 1\sim \tau )$의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 $\tau$의 극한 $\tau \to i\infty$를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 큰 부피 극한(영어: large volume limit)에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑지언 부분다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 $B$와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 $X_{b}$라면 코호몰로지 $H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$에 의하여 주어진다. $X$에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 $Y$에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, $X$에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 $Y$에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 $Y$이다. 즉, $Y$는 올다발 $Y\to B$ 구조를 가지며, 그 올은 $Y_{b}=H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$가 된다.

SYZ 가설은 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로(Eric Zaslow)가 발표하였다.

호몰로지 거울 대칭

막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 호몰로지 거울 대칭(영어: homological mirror symmetry) 이 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년 수상하였다.

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.

• 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.
• 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.

하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 $(M,W)$ 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

$M$의 연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = $W$의 후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주

여기서 양변은 다음과 같다.

• 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분다양체(special Lagrangian submanifold)를 대상으로 하고, 플로어(Floer) 사슬(chain)을 사상으로 범주로, A-모형(영어: A-model)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분다양체를 감는다.
• 연접층의 범주는 B-모형(영어: B-model)을 나타낸다.

이 A/B-모형은 위상 끈 이론(영어: topological string theory)의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

예

대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자.^:425 K3 곡면의 모듈러스 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 $h^{1,1}(K3)=20$개는 켈러 모듈러스, 나머지 38개는 복소 구조 모듈러스에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여

$b_{2}(K3)=h^{1,1}(K3)+2=22$

개의 모듈러스가 추가된다. 이 가운데 $h^{1,1}=20$개의 모듈러스는 K3 곡면 켈러 모듈러스와 함께 복소 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈러스들은 (일반화) 복소 구조 모듈러스로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈러스가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈러스가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소 구조 모듈러스를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈러스와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소 구조와 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈러스는 바뀌지 않는다.

역사

1990년대 초에 T-이중성을 확장하기 위하여 제안되었다.

참고 문헌

• Berglund, Per; Sheldon Katz (1994). “Mirror symmetry constructions: a review”. arXiv:hep-th/9406008. Bibcode:1994hep.th....6008B. 
• Rickles, Dean (2013년 1월 1일). “Mirror symmetry and other miracles in superstring theory”. 《Foundations of Physics》 43 (1): 54-80. arXiv:1004.4491. Bibcode:2013FoPh...43...54R. doi:10.1007/s10701-010-9504-5. 
• Hosono, S.; A. Klemm, S. Theisen (1994). 〈Lectures on mirror symmetry〉. 《Integrable Models and Strings: Proceedings of the 3rd Baltic Rim Student Seminar Held at Helsinki, Finland, 13–17 September 1993》. Lecture Notes in Physics 436. Springer. 235–280쪽. arXiv:hep-th/9403096. Bibcode:1994LNP...436..235H. doi:10.1007/3-540-58453-6_13. ISBN 978-3-540-58453-7. 
• Lerche, Wolfgang (2003). “Special geometry and mirror symmetry for open string backgrounds with N=1 supersymmetry”. arXiv:hep-th/0312326. Bibcode:2003hep.th...12326L. 
• Voisin, Claire (1996). 《Mirror Symmetry》. SMF/AMS Texts and Monographs 1. Roger Cooke 역. American Mathematical Society/Société Mathématique de France. 

바깥 고리

• 김범식 (2010년 4월 1일). “거울대칭, 그리고 곡선 세기” (PDF). 《과학의 지평》 42: 4–10. 
• 조철현 (2010년 4월 1일). “호몰로지 거울대칭 가설(HMS)이란 무엇인가” (PDF). 《과학의 지평》 42: 11–17. 
• 남순건 (2001년 11월). “끈으로 본 시공간”. 《물리학과 첨단기술》 10 (11). ISSN 1225-2336. 
• Tong, David (2007년 2월 19일). “Quantum geometry: What the string saw” (PDF).  (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)

같이 보기

• 원환 다양체