구 (기하)

반지름이 $r$ 인 구

구(球)는 3차원의 도형으로서, 한 점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. '구'라는 이름은 공이란 의미를 가지는 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

좌표에서는 중심이 ( $a$ , $b$ , $c$ )이고 반지름이 $r$ 인 구를

$( x - a ) ^ 2 + ( y - b ) ^ 2 + ( z - c ) ^ 2 = r ^ 2$

로 나타낼 수 있다.

일반화 [편집]

구의 정의를 확장하여 $n$ 차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 $S^n$ 으로 표시하고, 정의는 $(n+1)$ 차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 $S^1$ 은 원, $S^2$ 는 구가 된다.

어떤 반구가 y축을 향하여 놓여 있다고 하자.

그러면 그 반구는 원이 y축 방향으로 쌓여 있다고 볼 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같다.

$V = \int_{0}^{r} \pi x^2\, dy$

그럼 원의 방정식을 사용하자.

x²+y²=r²

여기서 V는

$V = \pi \int_{0}^{r} (r^2-y^2)\, dy = [ \pi r^2 y ]_{0}^{r} - [ \pi(1/3)y^3 ]_{0}^{r} = \pi r^3 - (1/3) \pi r^3 = (2/3) \pi r^3$

따라서 구의 부피 = 2V이므로 반지름이 $r$ 인 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 이다. ∎

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

$(1/3) \pi r^3 : (4/3) \pi r^3 = \pi r^2 : S$

따라서 겉넓이 $S = 4 \pi r^2$ 이 된다. ∎