환론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.
가 가환환이고,
가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면,
의
에 대한 국소화
는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환
및 환 준동형
으로 구성된다.
- 임의의
에 대하여,
는 가역원이다.
- (1)을 만족시키는 임의의 가환환
및 환 준동형
에 대하여,
이 되는 환 준동형
가 유일하게 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}R&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}R\\&{\scriptstyle \phi '}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&R'\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb6345904f707fa5181d69b2dc58f08ca34ba23)
국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.
위 보편 성질은
가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고
를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약
가 곱셈 모노이드가 아니고,
가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상
가 된다.
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약
,
이고
인
가 있다면
![{\displaystyle (r,s)\sim (r',s')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78bb63253a25d3e2bbffebcefd66b5623ee6dee2)
으로 정의한다. 그렇다면
로 놓자. 이는 대략
를
와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로
를
로 쓰자.
위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.
![{\displaystyle {\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8de175607dd2f202ad081823aa2cb78a24c200)
.
또한,
로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
.
이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
가환환이 아닐 수 있는 임의의 환
및 부분 모노이드
에 대하여, 국소화
를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주
에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,[1]:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.
- (A)
의 모든 원소
에 대하여,
가 되는
및
가 존재한다.[1]:288, (4.9.1a)
- (A′)
의 모든 원소
에 대하여,
가 되는
및
가 존재한다.
- (B)
의 핵은
이다.[1]:288, (4.9.1b)
- (B′)
의 핵은
이다.
- (C)
이며
라면
이다.[1]:289, Example (4.9.3)
이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편
-가역화 환(普遍
-可逆化環, 영어: universal
-inverting ring)이라고 불리기도 한다.
비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자
속의,
를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자
![{\displaystyle G_{S}\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36adbba29c86f8755a8fe16478caf2d3e953c79)
![{\displaystyle G_{S}(R')=\left\{\phi \in \hom _{\operatorname {Ring} }(R,R')\colon \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc8207d3718e84c3142772d9e00e53b495965e9)
를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자
를 가지며, 따라서
는 표현 가능 함자이다. 즉,
![{\displaystyle G_{S}(-)=\hom _{\operatorname {Ring} }(F_{S}(\{\bullet \}),-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a324f12c26ef738d9c23eee6cb6a37cab1494b5c)
로 생각할 수 있으며,
는 국소화
를 이룬다.
만약
가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화
는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.[1]:Proposition (4.9.2) 환
의 표시
![{\displaystyle R\cong \langle \{r_{i}\}_{i\in I}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d525f77fb1ddefd959908409069af146303b485d)
를 고르자. 즉, 생성원
와 관계
로 나타내자. 그렇다면, 각
에 대하여 생성원
를 추가하고, 또 관계
![{\displaystyle ss^{*}=s^{*}s=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7b7c6a1aced17510a97ad222f3974d3913812a)
를 추가하자. 그렇다면
![{\displaystyle S^{-1}R=\left\langle \{r_{i}\}_{i\in I}\sqcup \{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\cup \{ss^{*}-1\}_{s\in S}\cup \{s^{*}s-1\}_{s\in S}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec34e8fb50e5a2ddcb4c4fb572d04cc682b9c29)
는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.
이 구성에서,
의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}^{(1)}(s_{1}^{(1)})^{-1}r_{i}^{(2)}(s_{1}^{(2)})^{-1}\cdots r_{i}^{(k_{i})}(s_{1}^{(k_{i})})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d26756558f858b2a12e536c91aeceeda8348897)
비가환환
의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환
와 부분 모노이드
가 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.
구체적으로,
와 부분 모노이드
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.
![{\displaystyle Sr\cap Rs\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f27b98c4a05c21cc691d3aaa5ba64ab7e1962ae)
![{\displaystyle \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad \forall r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5572fbfc719f3ace887de7a39f2b2fb0f09e6c)
마찬가지로,
와 부분 모노이드
가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.
![{\displaystyle rS\cap sR\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3364ad331bf2b31ed34d41789e9348980939fa)
![{\displaystyle \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad \forall r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff54a1fbeada98a76fba5aa129093837891431b)
가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합
위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
![{\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff \exists {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S\colon {\tilde {s}}s'-{\tilde {r}}s={\tilde {s}}r'-{\tilde {r}}r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2905e135ebe280efcdc90389819721999ae1039a)
그렇다면
는 집합으로서 몫집합
이다.
의 동치류를
로 표기하자.
위의 곱셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle (s^{-1}r)(s'^{-1}r')=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bb15c656af03daa6236a8cb0397ad078205e22)
여기서
인
는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
- "
"
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로,
위의 덧셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle s^{-1}r+s'^{-1}r'=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a10457ec1e43d3121ebf78df12fbfa32081a950)
여기서
인
는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
- "
"
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는
- "
"
로 생각할 수 있다.
마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화
를 구성할 수 있다.
이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.[1]:Corollary (4.10.11)
가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.
환
의 곱셈에 대한 부분 모노이드
및
위의 왼쪽 가군
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의
에서의 국소화
은
위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.
![{\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c13acc7b3245c958e65c4e2bf476be79c4ccf0a)
또한, 표준적인
-왼쪽 가군 사상
가 존재한다.
이는 함자
![{\displaystyle (S^{-1}R\otimes _{R})\colon {{}_{R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3c442fe0537866ea022822c21209bab3ec7a76)
를 정의하며, 환 준동형
에 의한 망각 함자
![{\displaystyle F\colon {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{R}\operatorname {Mod} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6ceec98179f307d8ee9d6de1ab0150f9f88c49)
의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의
-왼쪽 가군의 준동형
에 대하여, 만약 임의의
에 대하여
이 전단사 함수라면,
인
-왼쪽 가군 준동형
이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}M\\&{\scriptstyle \phi _{N}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&N\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545a4ebe311ae8c9b5656005b903334fa8bfee76)
가 가환환일 때, 가군의 국소화
는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.
위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.
![{\displaystyle (s,m)\sim (s',m')\iff \exists t\in S\colon ts'm=tsm'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd30d94d1006f5c8e46f7cc44aaac3f0635c0a71)
은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다.
의 동치류를
로 표기하자. 그렇다면,
위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {m'}{s'}}={\frac {s'm+sm'}{ss'}}\qquad \forall m,m'\in M,\;s,s'\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9191f36af225a20ce3d9155287a58ac83117fcb)
![{\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{s'}}={\frac {rm}{ss'}}\qquad \forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771664477dba60657acfef6bfecd10d50883a0ce)
가환환
및 곱셈 모노이드
에 대하여, 국소화
의 소 아이디얼들은
의 소 아이디얼 가운데
와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.
![{\displaystyle f\colon \operatorname {Spec} (S^{-1}R)\to \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\cap S=\varnothing \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0533dea269a88d670c8e33e24d2750f8cc1bd04)
![{\displaystyle f\colon {\mathfrak {q}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {q}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7113a408b90de8ed05661a3abcde45a1f801974)
여기서
는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.
특히,
의 소 아이디얼
에 대하여,
는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은
에 대응한다.
가환환
및 곱셈 모노이드
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 표준적 환 준동형
가 단사 함수이다.
는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)
그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.
뇌터 가환환
위의 단사 가군
및 임의의 원소
에 대하여,
는 전사 함수이다.[2]:214, Lemma III.3.3
환
및 곱셈 모노이드
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:300, Theorem (4.10.6)
는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
- 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형
이 존재한다.
![{\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5249da34589c362aa8ed0857ccd60c2e8f755a)
![{\displaystyle R'=\phi (S)^{-1}\phi (R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf668270135625980a066ffb86718cd7abd0836)
![{\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d753b9a63d0a327e155554e216070b1575ca324c)
또한, 이러한 조건을 만족시키는
는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.[1]:302, Corollary (4.10.11)
마찬가지로, 환
및 곱셈 모노이드
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
- 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형
이 존재한다.
![{\displaystyle \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5249da34589c362aa8ed0857ccd60c2e8f755a)
![{\displaystyle R'=\phi (R)\phi (S)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb5d292339971c451bb6acce82a1a68778c1b15)
![{\displaystyle \ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fb4a1961d0beff672863567c557bd88b7af562)
특히, 만약
가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.
(비가환일 수 있는) 환
및 곱셈 모노이드
가 주어졌다고 하자.
이라고 하자. 그렇다면 항상
(자명환)이다. 만약
가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
이라고 하자. 그렇다면 항상
이다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Icons8_flat_search.svg/18px-Icons8_flat_search.svg.png)
이 부분의 본문은
분수체입니다.
(곱셈 항등원을 갖는) 환
에 대하여,
![{\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfb14f192e73860fd7ae569ce7fd9261e9d2e5d)
가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한,
가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화
를
의 전분수환
라고 한다.
특히, 만약
가 (가환) 정역이라면
이며,
는 체를 이룬다. 이 경우,
는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드
가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형
은 다음과 같이
의 일부분을 이룬다.
![{\displaystyle R\to S^{-1}R\to \operatorname {Frac} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f555142cd5cd233878cdcf66ff66bf9802908db)
이에 따라
는 항상 분수체
의 부분환을 이룬다.
정수환
의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼
또는 영 아이디얼
이다.
정수환
를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599144ba2505b86888b28f2a86582099da6fbdbf)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e96146ff02e10dab5556b1e3d04227f6dd214a)
즉, 분모가
의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히,
는 이산 값매김환이며,
는 체이다.
정수환의
를 원소
에서 국소화하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{k}=\{m/k^{n}\colon \gcd\{m,k\}=1,\;n\in \mathbb {N} \}\subsetneq \mathbb {Q} \qquad (k\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7ccaece3a2b787c98b51d3ecb2bc3305408428)
(자명환)
즉, 분모가
의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히
로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)
정수환의 몫환
을 생각해 보자.
이 소수의 거듭제곱이라면
이거나
이다. 만약
이고,
와
가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여
이다. 그렇다면
이 가능한데, 이 경우
이다.
체
및 정수
에 대하여, 행렬환
을 생각하자.
가
에서 성분
을 가지며, 나머지 성분이 모두
인 행렬이라고 하자. 그렇다면,
일 때, 국소화
는 자명환이다.[1]:289–290, Example (4.9.3)
대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.[2]:xvi
- 원소
가 주어진 경우,
는
에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을
가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합
에 국한한 것이다.
- 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환
의 경우
는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간
위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로,
으로 국한된 것을 알 수 있다.
- 소 아이디얼
가 주어진 경우,
는
에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을
의 자리스키 폐포
의 근방에 국한한 것이다.
- 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환
를 극대 아이디얼
에서 국소화하면 유리 함수체
을 얻는다. 이는
의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로,
의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.
1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.[3][4]:299[5]:57
에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.[1]:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.[6]:466[4]:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.[1]:300)
임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레[7]와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)[8]가 도입하였다.[5]:57