자연로그의 밑

자연로그의 밑(base of the natural logarithm)은 무리수인 상수로 $2.71828\ 18284\ 59045\ 23536\ 02874\ \cdots$로 나타내어지며 기호 $e$로 표기한다. 이를 네이피어 상수, 오일러 수, 자연상수라고도 부른다.

정의

• $e$는 다음의 극한값으로 표현되며, 가장 일반적으로 정의되고 있는 야코프 베르누이의 방법이다.

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

• $e$는 좌표평면상의 네 개의 그래프 $y={\dfrac {1}{x}},~$$x$ 축$,~x=1,~x=t(>1)$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $1$일 때, $t$의 값이다. 이 정의는 로그함수, 극한, 정적분의 선행 없이 쓸 수 있는 정의이다. 이를 정적분으로 표현하면 다음과 같다.

$\int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}dx=1$

이때 정적분 값이 항상 양수이므로 넓이로 부를 수 있다.

• $e$는 무한급수로 표현할 수도 있다.

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

이는 지수함수를 나타내는 테일러 급수 $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{{x^{n}} \over {n!}}$ 에 대하여 $x=1$일 때의 값이다.

명칭

정식 수학 용어는 자연로그의 밑이지만, 수학교육학 분야에 한정하면 로그가 선행되지 않은 상태에서 서술되는 경우가 많고 이 때에는 상수 $e$로 지칭한다.

그외의 용어는 모두 비공식 용어이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 부르자는 의논이 있었으나 오일러가 발견한 수가 많아서 통용되지 않고 있다. 그 외 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 부르자는 이야기가 있었으나, 정작 그것을 발전시켜 밝혀낸 사람은 그가 아닌 야코프 베르누이여서 무산되었다.

역사

$e$의 값이 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 $e$를 상수로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 $N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}$ 과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는

$N=\log _{n}L\cdots \cdots n=(1-10^{-7})^{10^{7}}$

인 로그함수이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 $e$의 역수인 1⁄e와 매우 가까운 근삿값이다. 후일 윌리엄 오트레드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 $e$를 특별한 상수로 취급하지는 않았다.

$e$가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

베르누이는 위의 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 $e$이다.

베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 $e$로 표현하여 사용하기 시작하였다. $e$ 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 $e$로 표기하는 것이 관례가 되었다.

자연로그

 로그 문서를 참고하십시오.

$e$를 밑으로 하는 로그인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 $\log x$는 자연로그를 뜻했다. 하지만 상용로그와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 $\ln x$로 표기한다.

로그함수 $f(x)=\ln x$의 도함수는 $f(x)={\frac {1}{x}}$이다. 즉,

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$

이고,

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

이다. 이는 $e$를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.

$e$를 밑으로 하는 자연로그는 여러 가지 증정도와 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서부터 주어진 수까지의 소수의 개수는 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.

이외에도 자연로그는 물리와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.

• 루트비히 볼츠만은 엔트로피 S와 다중도 g의 자연로그 값이 비례함을 보였다.

$S=k\cdot \ln g$

• 두 화학 물질의 1차 반응 속도에 따른 농도의 변화량은 다음의 식으로 표현된다.

$\ln[A]=-kt+\ln[A]$₀

A₀ - 초기 농도, k - 반응 계수, t - 시간, A - 해당 시간에 따른 잔여 물질의 농도

특성

$e$는 무리수에 속하며 초월수로 알려져 있다.

초월수

$e$는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수이다. 1873년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트에 의해 $e$가 초월수임이 증명되었다. $e$가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법에 의한 것으로 만일 $e$가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.

무리수

또한 $e$는 무리수이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.

먼저 $e$의 테일러 전개는

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}=e$

이때 n까지의 부분합을 X_n라 하면, $X_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ 이다

$e-X_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}<{\frac {1}{(n+1)!}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{3}}}+\cdots \right)={\frac {1}{n(n)!}}$

이 성립한다.

이제 $e$를 유리수라 가정하면 양의 정수 $p$, $q$에 대해

$e={\frac {p}{q}}$

가 되어야 한다. 따라서,

$0<e-X_{q}<{\frac {1}{q(q)!}}$

이어야 하고 이 부등식의 각 변에 $q!$를 곱하면

$0<q!(e-X_{q})<{\frac {1}{q}}\cdots \cdots (1)$

이 된다. 한편, $e$ = p⁄q 라 가정하였으므로

$q!e=q!{\frac {p}{q}}=p(q-1)!$

이 된다. 이에 따라 $q!e$와 $q!X$ _$q$는 양의 정수가 되어야 하므로 $q!(e-X_{q})$ 역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 $q!(e-X_{q})$는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 $e$는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

$e$의 근삿값은 다음과 같은 연분수의 전개를 통하여 계산할 수 있다.

$e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {2}{3+{\frac {3}{4+{\frac {4}{5+\cdots }}}}}}}}}}$

계산

테일러 전개를 이용한 $e$의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다.

$e=e^{1}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$

를 사용하여 8차항까지 더하면

$1+1+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{7!}}$

$=2+{\frac {1}{2\times 1}}+{\frac {1}{3\times 2\times 1}}+\cdots +{\frac {1}{7\times 6\times \cdots 3\times 2\times 1}}$

$=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+{\frac {1}{720}}+{\frac {1}{5040}}$

$=2.718253968\cdots$

위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 $0$ 에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 $e$에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다.

한편 $e^{n}=f(n)$인 지수함수의 테일러 급수는

$e^{n}={n^{0} \over 0!}+{n^{1} \over 1!}+{n^{2} \over 2!}+{n^{3} \over 3!}+{n^{4} \over 4!}+\cdots$

$\;\;={1 \over 1}+{n^{1} \over 1!}+{n^{2} \over 2!}+{n^{3} \over 3!}+{n^{4} \over 4!}+\cdots$

이다.

함수론

$y=e^{x}$

$e$는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. $e$에 대한 임의 차원의 지수함수인 $f(x)=e^{x}$는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 $f(x)=e^{x}$에 대한 $x=-\infty$에서 $x=1$까지 아래 넓이는 $e$이다.

먼저 $f(x)=e^{x}$의 미분을 보면,

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.

${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{n\to 0}{\frac {e^{x+n}-e^{x}}{n}}=e^{x}\cdot \lim _{n\to 0}{\frac {e^{n}-1}{n}}$

이때, $\lim _{n\to 0}{\frac {e^{n}-1}{n}}=1$

따라서, ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

한편 오른쪽 그림과 같은 $y=e^{x}$의 그래프에서 $x=-\infty$에서 $x=1$까지 아래 넓이는 아래와 같다.

$\int _{-\infty }^{1}e^{x}\,dx=e$

적용

복리문제

복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.

원리 합계 = 원금 X (1 + 이율)^기간

예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.

기간	3%	4%	5%	6%
1년	1,030	1,040	1,050	1,060
2년	1,061	1,081	1,102	1,123
3년	1,093	1,124	1,157	1,191
4년	1,126	1,169	1,215	1,262
5년	1,159	1,216	1,276	1,338
6년	1,194	1,265	1,340	1,418

위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다. 또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다. 베르누이는 기간이 n 일 때 이율을 1⁄n이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 점근한다는 것을 발견하였다.

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=2.71828\cdots =e$

오일러의 공식

 오일러의 공식 및 오일러의 등식 문서를 참고하십시오.

오일러 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타낸다.

1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

$\ln(\cos x+i\sin x)=ix\$

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.

$e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x$

이를 오일러의 공식이라 한다.

오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터였다.

오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}$ (단, |x| < 1)

삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

$\sin {x}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots$

$\cos {x}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots$

한편 $f(z)=e^{z}$인 지수함수의 테일러 급수는

$e^{z}=1+{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots$

이다. 이때, $z=ix$라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.

$e^{ix}=1+{\frac {ix}{1}}-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-\cdots$ (i²= -1)

위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면

$e^{ix}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \right)$

가 된다.

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다.

$e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x$

여기에서 x에 π를 대입하면

$e^{i\pi }+1=0\!$

이 되고, 이를 오일러의 등식$\;e^{i\pi }+1=0\;$이라고 한다.

미해결 문제

$e$와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=0.57721\cdots$

e의 소수점 아래 첫 500자리

$e$의 소수점 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리)

2.	7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
	2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901
	1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069
	5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416
	9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 ...

같이 보기

• 삼각함수
• 수학 상수
• 자연로그
• 레온하르트 오일러
• 야코프 베르누이
• 존 네이피어