점근 표기법

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점근 표기법(asymptotic notation)은 어떤 함수의 증가 양상을 다른 함수와의 비교로 표현하는 수론해석학의 방법이다. 알고리듬복잡도를 단순화할 때나 무한급수의 뒷부분을 간소화할 때 쓰인다.

대표적으로 다음의 다섯 가지 표기법이 있다.

  • 대문자 O 표기법
  • 소문자 o 표기법
  • 대문자 오메가(Ω) 표기법
  • 소문자 오메가(ω) 표기법
  • 대문자 세타(Θ) 표기법

이 중 압도적으로 많이 쓰이는 것이 대문자 O 표기법으로, 란다우 표기법이라고도 한다.

대문자 O 표기법 (Big-O notation)[편집]

정의[편집]

함수 f(x), g(x)에 대해 f(x)O(g(x))라는 것은 상한 점근에 관한 다음의 동치인 정의와 같다.

  • 를 만족하며 충분히 큰 모든 에 대하여 가 성립하도록 하는 양의 실수 과 실수가 존재한다.
  • 를 만족하는 에 대하여 가 성립하도록 하는 양수 이 존재한다.

이를 혹은 로 표기하기도 한다.

[편집]

다항식 를 다음과 같이 정의한다.

이때 이 된다. 증명은 다음과 같다.

(일 때)
(와 같은 방법)

표기법 문제[편집]

라는 표현에서, 등호는 원래의 등호와는 다른 의미를 가진다. 예를 들어,

어떤 함수가 이면 이므로 로 표기할 수는 있지만, 와 같이 쓰는 것은 잘못된 표기이다. 이 때, 등호 표기는 일반적인 표기법과 다르게 사용된 기호의 남용으로 볼 수 있다.

이러한 문제를 방지하기 위해, 를 원래 정의에서 해당하는 함수들의 집합으로 정의하는 경우도 많이 사용된다. 이러한 경우 과 같이 표기할 수 있고, 이것은 기호의 원래 정의와 잘 맞아 떨어진다.

다른 표기법들[편집]

대문자 O 표기법과 비슷하게, 다음의 표기법들이 사용된다.

표기법 설명 수학적 정의
상한 점근
하한 점근
상한/하한 점근

또한 Õ 표기법은 대문자 O 표기법의 일종으로, (는 임의의 상수)를 의미한다. 이 표기법은 함수의 로그 증가 비율을 무시하는 의미를 가지고 있다.