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이징 모형(Ising model)은 통계 역학에서 물리학자 에른스트 이징의 이름을 딴 강자성의 수학 모형이다. 이징 모형의 형태 공간(configuration space)은 격자점 즉 바둑판 모양의 정사각형이 무한이 붙어있는 모양의 그래프 꼭지점에 +1 또는 -1의 값을 할당된 여러 가능한 형태의 집합이다. 여기에 격자점 사이의 상호 작용과 에너지를 정의하며 경우에 따라서 외부의 자기장을 포함하기도 한다.
[편집] 이징 모형의 풀이
이징은 1925년 그의 박사 논문에서 1차원의 경우에 대한 모형을 해결했다. 1차원에서는 상전이(phase transition) 현상이 일어나지 않는다. 그 결과를 기초로 그는 어떠한 차원에서도 그의 모형에서 상 전이가 존재할 수 없다는 잘못된 결론을 지었다. 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상 전이가 일어나고 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다. 3차원 이상 부터는 해석적인 해를 구할 수 없고 수치적인 해만 구할 수 있으며, 4차원 이상의 경우에는 평균장 근사(Mean Field Approximation)을 통해서 3차원보다 간단하게 풀 수 있다. 대부분의 수치적 해법은 몬테 카를로 순환에서 실행되는 메트로폴리스-해스팅스 알고리즘을 이용한다.
[편집] 이징 모형의 응용
이징 모형은 자석이나 초전도체를 모형화하여 연구하는데 주로 사용된다. 또한 액체를 모형화하는데 사용할 수도 있다. 최근에는 경제물리학에서 금융시장에서 시장 참여자들이 특정한 상품(주식 또는 채권 등)에 관심을 갖고 구매하게되어 가격을 결정하는 과정을 이징 모형을 이용하여 연구하기도 한다.
[편집] 관련된 다른 수학적 모형
- 퍼콜레이션: 퍼콜레이션은 각 꼭지점의 상태는 1가지 뿐이고, 꼭지점 사이의 연결 관계에 관심을 갖는 모형이다.
[편집] 같이 보기
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