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그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 [[노르웨이]] 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔({{llang|de|Friedrich Engel}})이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》({{llang|de|Theorie der Transformationsgruppen}})을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,<ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt | publisher = Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1888 | location = [[라이프치히]] | jfm = 20.0368.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation01liesrich | 언어고리 = de}}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus |저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1890 | location = [[라이프치히]] | jfm=23.0364.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation02liesrich | 언어고리 = de }}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1893 | location = [[라이프치히]] | jfm = 25.0623.01 | url =https://archive.org/details/theotransformation03liesrich |언어고리 = de }}</ref> 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다. |
그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 [[노르웨이]] 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔({{llang|de|Friedrich Engel}})이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》({{llang|de|Theorie der Transformationsgruppen}})을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,<ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt | publisher = Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1888 | location = [[라이프치히]] | jfm = 20.0368.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation01liesrich | 언어고리 = de}}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus |저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1890 | location = [[라이프치히]] | jfm=23.0364.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation02liesrich | 언어고리 = de }}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자고리=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1893 | location = [[라이프치히]] | jfm = 25.0623.01 | url =https://archive.org/details/theotransformation03liesrich |언어고리 = de }}</ref> 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다. |
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1888년~1890년 동안 [[빌헬름 킬링]]은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, [[반단순 리 군]]의 구조론을 제창하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil|저널=Mathematische Annalen|권=31|호=2|날짜=1888-06|쪽=252–290|doi=10.1007/BF01211904|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=33|호=1|날짜=1888-03|쪽=1–48|doi=10.1007/BF01444109|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=34|호=1|날짜=1889-03|쪽=57–122|doi=10.1007/ |
1888년~1890년 동안 [[빌헬름 킬링]]은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, [[반단순 리 군]]의 구조론을 제창하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil|저널=Mathematische Annalen|권=31|호=2|날짜=1888-06|쪽=252–290|doi=10.1007/BF01211904|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=33|호=1|날짜=1888-03|쪽=1–48|doi=10.1007/BF01444109|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=34|호=1|날짜=1889-03|쪽=57–122|doi=10.1007/BF01446792|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil (Schluss)|저널=Mathematische Annalen|권=36|호=2|날짜=1890-06|쪽=161–189|doi=10.1007/BF01207837|언어고리=de}}</ref> 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스({{llang|fr|Arthur Tresse}})는 "리 군"({{llang|fr|groupe de Lie}})이라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref>{{cite journal |title= Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations | 이름= Arthur|성=Tresse |journal=Acta Mathematica|volume=18|year=1893|pages=1–88 |doi=10.1007/bf02418270|issn=0001-5962|언어고리=fr}}</ref>{{rp|3}} 킬링의 구조론은 이후 [[엘리 카르탕]]에 의하여 개량·정리되었다. 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.<ref name="Cartan1930"/>{{rp|§26}} |
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[[헤르만 바일]]은 반단순 리 군의 [[기약 표현]]들을 [[무게 (표현론)|무게]]로서 분류하였고, 이를 [[양자역학]]에 응용하였다. 그 뒤 [[클로드 슈발레]]와 [[하리시찬드라]] 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 [[로버트 랭글랜즈]]의 [[랭글랜즈 프로그램]]으로 이어졌다. |
[[헤르만 바일]]은 반단순 리 군의 [[기약 표현]]들을 [[무게 (표현론)|무게]]로서 분류하였고, 이를 [[양자역학]]에 응용하였다. 그 뒤 [[클로드 슈발레]]와 [[하리시찬드라]] 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 [[로버트 랭글랜즈]]의 [[랭글랜즈 프로그램]]으로 이어졌다. |
2015년 9월 8일 (화) 09:33 판
대수 구조 |
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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 매끄러운 다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 미분구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.
정의
실수 리 군(영어: real Lie group)은 군의 구조를 지니고, 그 연산(곱셈과 역)이 매끄러운, 매끄러운 다양체다. 즉 군과 다양체의 구조를 동시에 지니며, 그 두 구조가 서로 호환되는 경우다. 유사하게 복소 리 군(영어: complex Lie group)을 정의할 수 있다. 또는 범주론적으로 매끄러운 다양체의 군 대상으로 정의할 수도 있다.
표현
리 군 G의 유한 차원 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끄러운 준동형 이다. 힐베르트 공간 위의 표현일 경우, 대개 유계(有界, bounded)이고, 가역(可易, invertible)이고, 그 역이 유계인 작용소(operator)군 으로 가는 매끄러운 준동형 로 정의한다.
반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약(旣約, irreducible) 표현의 직합으로 나타내어진다.
성질
리 군은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.
- 유한 개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 곱공간은 무한 차원이므로, 매끄러운 다양체의 정의에 속하지 않는다.)
- (카르탕 닫힌 부분군 정리 영어: Cartan’s closed subgroup theorem) 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군의 부분 공간 위상은 매끄러운 다양체이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.[1]:§26
- 리 군의 닫힌 정규 부분군에 대한 몫군은 리 군이다.
- 리 군의 범피복 공간은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)
분류
연결 공간이 아닌 리 군 는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. 을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대(extension)다. 모든 연결 리 군은 또한 (보편적 덮개를 취하여) 단일 연결 리 군 의 몫군 (여기서 은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.
(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.
역사
리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"(독일어: Transformationsgruppe 트란스포르마치온스그루페[*])이라는 이름으로 도입하였다.[2][3][4][5][6][7] 그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,[8][9][10] 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.
1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다.[11][12][13][14] 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스(프랑스어: Arthur Tresse)는 "리 군"(프랑스어: groupe de Lie)이라는 용어를 최초로 사용하였다.[15]:3 킬링의 구조론은 이후 엘리 카르탕에 의하여 개량·정리되었다. 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.[1]:§26
헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레와 하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈의 랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 Cartan, Élie (1930). “La théorie des groupes finis et continus et l’Analysis situs”. 《Mémorial des sciences mathématiques》 42: 1–61. JFM 56.0370.08.
- ↑ Lie, Sophus (1874). “Ueber Gruppen von Transformationen”. 《Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen》 1874: 529–542. JFM 06.0093.01.
- ↑ Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Erste Abhandlung”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 3: 19–58. JFM 08.0212.01.
- ↑ Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung II”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 3: 152–202. JFM 08.0212.01.
- ↑ Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen, III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 3: 93–165. JFM 10.0258.01.
- ↑ Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung IV”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 3: 375–460. JFM 10.0260.01.
- ↑ Lie, Sophus (1879). “Theorie der Transformations-Gruppen V”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 4: 232–261. JFM 11.0258.02.
- ↑ Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1888). 《Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt》. 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 20.0368.01.
- ↑ Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1890). 《Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt》. 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 23.0364.01.
- ↑ Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1893). 《Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt》. 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 25.0623.01.
- ↑ Killing, Wilhelm (1888년 6월). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil”. 《Mathematische Annalen》 31 (2): 252–290. doi:10.1007/BF01211904.
- ↑ Killing, Wilhelm (1888년 3월). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil”. 《Mathematische Annalen》 33 (1): 1–48. doi:10.1007/BF01444109.
- ↑ Killing, Wilhelm (1889년 3월). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil”. 《Mathematische Annalen》 34 (1): 57–122. doi:10.1007/BF01446792.
- ↑ Killing, Wilhelm (1890년 6월). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil (Schluss)”. 《Mathematische Annalen》 36 (2): 161–189. doi:10.1007/BF01207837.
- ↑ Tresse, Arthur (1893). “Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations”. 《Acta Mathematica》 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270. ISSN 0001-5962.
- 양재현 (1998년 11월 25일). 《Lie 군의 표현론》. 민음사. ISBN 89-374-3627-2.
- Adams, John Frank (1969). 《Lectures on Lie groups》. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-00527-5.
- Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》. Graduate Texts in Mathematics 225 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285. Zbl 1279.22001.
- Chevalley, Claude (1999). 《Theory of Lie groups》. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton Mathematical Series 8 15판. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-04990-4. Zbl 0946.22001.
- Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie algebras, and representations: an elementary introduction》. Graduate Texts in Mathematics 222. Springer. arXiv:math-ph/0005032. doi:10.1007/978-0-387-21554-9. ISBN 978-0-387-40122-5. ISSN 0072-5285.
- Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.
- Rossmann, Wulf (2001). 《Lie groups: an introduction through linear groups》. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859683-7. Zbl 0989.22001.
- Serre, Jean-Pierre (1992). 《Lie algebras and Lie groups: 1964 lectures given at Harvard University》. Lecture Notes in Mathematics 1500 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2. ISSN 0075-8434.
- Steeb, Willi-Hans (2007년 7월). 《Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra》 2판. World Scientific. ISBN 978-981-270-809-0.
- Alexandrino, Marcos M.; Renato G. Bettiol (2010년 8월). “Introduction to Lie groups, isometric and adjoint actions and some generalizations”. arXiv:0901.2374. Bibcode:2009arXiv0901.2374A.
- Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups”. arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y.
리 이론의 역사
- Borel, Armand (2001). 《Essays in the history of Lie groups and algebraic groups》. History of Mathematics 21. American Mathematical Society/London Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0288-5. MR 1847105. Zbl 1087.01011.
- Hawkins, Thomas (2000). 《Emergence of the theory of Lie groups: An Essay in the History of Mathematics 1869–1926》. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1202-7. ISBN 978-0-387-98963-1. MR 1771134. Zbl 0965.01001.
응용
- Georgi, Howard (1999년 10월). 《Lie algebras in particle physics from isospin to unified theories》. Frontiers in Physics 54 2판. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0738202334. Zbl 0505.00036.
- Tung, Wu-Ki (1985년 8월). 《Group theory in physics: an introduction to symmetry principles, group representations, and special functions in classical and quantum physics》. Singapore: World Scientific. ISBN 978-9971-966-57-7. Zbl 0952.81500.
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Compact Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- 신상진 (2012년 11월 29일). “23. 리 군(Lie group), 리 대수(Lie algebra)” (비디오). 한양대학교.
- “리군과 리대수”.