나눗셈 정리

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한 줄에 5개씩 나열하여 마지막 줄에 2개가 남은 총 17개의 원
17개를 5개씩 묶으면 3묶음에 2개가 남는다. 이는 나뉘는수가 17, 나누는수가 5인 나머지 있는 나눗셈이며, 몫은 3, 나머지는 2이다. 즉, 17 = 5 × 3 + 2.
아홉 조각의 파이를 두 조각씩 나눠 먹는 네 사람
9조각의 파이와 4명의 사람이 있을 때, 2조각씩 나눠 먹으면 1조각이 남는다.

수학에서, 나눗셈 정리(-定理, 영어: division theorem)는 두 정수 또는 다항식에 대한 나머지를 정의할 수 있다는 정리이다. 두 정수나 다항식으로부터 몫과 나머지를 얻는 연산을 나머지 있는 나눗셈(영어: division with remainder) 또는 유클리드 나눗셈(영어: Euclidean division)이라고 한다. 정수를 정수로 나눈 몫은 나뉘는 수가 음의 정수가 되지 않도록 나누는 수를 뺀 최대 횟수를 나타내며, 나머지는 이 횟수만큼 뺀 차의 값을 나타낸다. 나눗셈 정리가 성립하는 구조는 환론에서 유클리드 정역으로 일반화된다.

정의[편집]

정수 , 이 주어졌고, 이라고 하자. 나눗셈 정리에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 정수 , 가 유일하게 존재한다.

여기서 절댓값이다. 이 경우 , 를 각각 으로 나눈 나머지라고 하며, 두 정수 , 으로부터 몫과 나머지 , 를 얻는 연산을 나머지 있는 나눗셈이라고 한다.

증명[편집]

우선 , 가 존재한다는 사실을 보이자. 우선 인 경우를 생각하자. 정수 을 고정하고 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 이라면, 은 원하는 조건을 만족시킨다. 이제, 이라고 하고, 보다 작은 모든 정수는 으로 나눈 몫과 나머지를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 이므로 수학적 귀납법의 가정에 의하여 다음 두 조건을 만족시키는 정수 , 이 존재한다.

만약 일 경우, 은 원하는 조건을 만족시킨다. 만약 일 경우 을 취하면 된다. 수학적 귀납법에 의하여, 임의의 에 대하여, 정리 속 조건을 만족시키는 , 가 존재한다. 을 미리 고정하였으므로 이는 임의의 에 적용된다.

이제 인 경우를 생각하자. 이 경우 은 양의 정수이므로, 다음 두 조건을 만족시키는 정수 , 이 존재한다.

만약 이라면 을 취하고, 만약 이라면 을 취하자. 그렇다면 , 는 원하는 조건을 만족시킨다. 이에 따라 , 는 임의의 정수 및 0이 아닌 정수 에 대하여 존재한다.

이제 , 가 유일하다는 사실을 보이자. 정수 , , , 가 다음 조건을 만족시킨다고 가정하자.

그렇다면,

이며, 양변을 으로 나누고 절댓값을 취하면

을 얻는다. 즉, 이며, 따라서 이다. 이에 따라, 정리 속 조건을 만족시키는 , 는 유일하다.

[편집]

만약 , 이라면, 몫은 , 나머지는 이다 ().

다항식 나눗셈 정리[편집]

에서 계수를 취하는 두 다항식 가 주어졌고, 이며, 의 최고 차수의 항의 계수가 가역원이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식 가 유일하게 존재한다.[1]:121, §III.5, Proposition 5.5[2]:173-174, §IV.1, Theorem 1.1

  • 이거나,

마찬가지로, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식 가 유일하게 존재한다.

  • 이거나,

특히, 일계수 다항식일 경우 나눗셈 정리가 적용된다. 만약 가환환일 경우, 역시 가환환이므로, , , 와 일치한다. 만약 일 경우, 의 모든 0이 아닌 원소는 가역원이므로, 나눗셈 정리는 임의의 에 대하여 성립한다. 이에 따라, 체에 대한 (일변수) 다항식환 유클리드 정역을 이룬다.

증명[편집]

우선 , 가 존재함을 증명하자. 임의의 을 고정하고 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 이거나 라면, 를 취하면 된다. 이제, 이며 라고 하고, 차수가 보다 낮은 다항식이 로 나눈 몫과 나머지를 갖는다고 가정하자. 차수 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

라고 하고,

라고 하자. 그렇다면 이므로, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.

  • 이거나,

그렇다면

는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제 , 가 유일함을 증명하자. 가 다음 조건을 만족시킨다고 가정하자.

  • 이거나,
  • 이거나,

그렇다면

이며, 또한 의 최고 차수의 항의 계수는 왼쪽 또는 오른쪽 영인자가 아니므로, 라고 가정하면

이므로 모순이다. 즉, 이며, 이다.

[편집]

정수 계수 다항식 로 나눈 몫과 나머지는 각각 이다.

임의의 환 에서, 다항식 (는 가역원)로 나눈 몫은 , 나머지는 0이다. 그 반대환 에서 몫과 나머지는 각각 와 0이다. 가 가환환일 경우 두 몫과 두 나머지는 일치한다.

나머지 정리[편집]

에서 계수를 취하는 다항식 가 주어졌고, 부분환으로 갖는 환 의 원소 의 모든 원소와 가환한다고 하자 (임의의 에 대하여, ). 나머지 정리(-定理, 영어: remainder theorem)에 따르면, 로 나눈 나머지는 이다.

특히, 만약 가환환일 경우, 임의의 다항식 및 원소 에 대하여 나머지 정리가 성립한다.

나머지 정리의 증명[편집]

로 나눈 몫과 나머지를 각각 라고 하자. 그렇다면 이거나

이므로, 이다. 의 모든 원소와 가환하므로, 함수

환 준동형이다. 이를

에 적용하면

을 얻는다.

인수 정리[편집]

에서 계수를 취하는 다항식 가 주어졌고, 부분환으로 갖는 환 의 원소 의 모든 원소와 가환한다고 하자 (임의의 에 대하여, ). 인수 정리(因數定理, 영어: factor theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:122, §III.5, Proposition 5.7[2]:175, §IV.1, Theorem 1.4

특히, 인수 정리는 가환환 의 임의의 다항식 및 원소 에 대하여 성립한다.

인수 정리의 증명[편집]

만약 라면, 가 존재하므로,

이다.

만약 이라면, 로 나눈 몫을 라고 하자. 그렇다면 나머지 정리에 따라

이므로 이다.

유클리드 정역[편집]

이 나눗셈 정리는 사실 가우스 정수 Z[i] := {a + bi|a, b∈Z}에서도 성립한다. 구체적으로 말해,

  • 가우스 정수 a, b에 대하여, a = bq + r이고 |r| < |b|를 만족하는 가우스 정수 q, r이 존재한다.

보다 일반적으로, 정역 중 나눗셈 정리의 위 조건과, 가우스 정수에서 성립하는 다음 조건,

  • 가우스 정수 a, b에 대하여 a≠0이면 |b| ≤ |ab|이다.

의 둘을 만족하는 형태의 절댓값 함수가 존재하는 것을 유클리드 정역(ED)이라 한다. 정수환의 확장에서 이러한 함수는 노름(norm)이라 불리는데, 위의 Z[i] 및 Z[√-2], Z[√2], Z[√3]은 모두 유클리드 정역이다. 임의의 는 유클리드 정역이며, 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역(PID)이다.[3][4]

각주[편집]

  1. Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732. 
  2. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 
  3. Joseph A. Gallian (2006), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company(Boston, New York), pp.329-331.
  4. 김응태, 박승안, 《현대대수학》, 경문사, 2008, 542-543쪽.

외부 링크[편집]