다항식의 나눗셈 정리

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대수학에서 다항식의 나눗셈 정리는 다항식을 다항식으로 나눌 때, 그 몫과 나머지가 유일하다는 정리이다.

정리[편집]

다항식 이 아닌 다항식 에 대하여 다음 식을 만족하는 다항식 이 유일하다.

또는

이 때, 다항식 를 각각 다항식 를 다항식 로 나눈 (quotient)과 나머지(remainder)라 한다. 또, 이면 나누어 떨어진다고 한다.

증명[편집]

다항식 이 아닌 다항식 로 나눈 나머지나 몫이 유일하지 않다고 가정하자. 즉,

또는

이라 하자.

이지만,

이므로 가정에 모순이다.

인수정리[편집]

다항식 로 나누어 떨어질 필요충분조건은

이다.

증명[편집]

다항식 로 나누어 떨어진다는 것은 어떤 다항식 에 대해서

가 성립한다는 것이다.

이 때, 이 식은 항등식이므로 를 대입하면

이 성립한다.

이제 역 명제를 증명하자.

다항식의 나눗셈 정리에 의해서 다음을 만족하는 다항식 가 유일하게 존재한다.

또는

이 때, 이므로 이면 이다.

따라서 어떤 상수 에 대해서 이다.

따라서 항등식

이 성립한다.

그런데

이고

이라고 하였으므로

따라서 다항식 로 나누어 떨어진다.