다항식의 나눗셈 정리

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대수학에서 다항식의 나눗셈 정리는 다항식을 다항식으로 나눌 때, 그 몫과 나머지가 유일하다는 정리이다.

정리[편집]

다항식 f이 아닌 다항식 g에 대하여 다음 식을 만족하는 다항식 qr이 유일하다.

f=gq+r \quad ( r=0 또는 \deg r<\deg g)

이 때, 다항식 qr를 각각 다항식 f를 다항식 g로 나눈 (quotient)과 나머지(remainder)라 한다. 또, r=0이면 fg나누어 떨어진다고 한다.

증명[편집]

다항식 f0이 아닌 다항식 g로 나눈 나머지나 몫이 유일하지 않다고 가정하자. 즉,

f = gq + r = gq' + r' \quad (q \ne q' 또는 r \ne r')

이라 하자.

g(q-q') = r'-r
\deg{g(q'-q)} = \deg{g} + \deg{(q'-q)} = \deg{(r-r')} \ge \deg{g} \quad (\because \deg{ab} = \deg{a} + \deg{b})

이지만,

\deg{(r-r')} < \deg{g} \quad (\because \deg{r} < \deg{g}, \deg{r'} < \deg{g})

이므로 가정에 모순이다.

인수정리[편집]

다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어질 필요충분조건은

f(a)=0

이다.

증명[편집]

다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어진다는 것은 어떤 다항식 q(x)에 대해서

f(x) = q(x)(x-a)

가 성립한다는 것이다.

이 때, 이 식은 항등식이므로 x=a 를 대입하면

f(a) = q(a)(a-a) = 0

이 성립한다.

이제 역 명제를 증명하자.

다항식의 나눗셈 정리에 의해서 다음을 만족하는 다항식 q(x)r(x)가 유일하게 존재한다.

 f(x)=(x-a)q(x)+r(x) (r(x) = 0 또는 deg(r(x))<deg(x-a))

이 때, deg(x-a) = 1 이므로 r(x) \ne 0 이면 deg(r(x)) = 0 이다.

따라서 어떤 상수 r에 대해서 r(x) = r 이다.

따라서 항등식

f(x) = (x-a)q(x) + r

이 성립한다.

그런데

f(a) = (a-a)q(a) + r = r

이고

f(a) = 0

이라고 하였으므로

r = 0

\therefore r(x) = 0

따라서 다항식 f(x)(x-a)로 나누어 떨어진다.