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다항식의 나머지 정리

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대수학에서 (다항식) 나머지 정리((多項式)-定理, 영어: (polynomial) remainder theorem) 또는 베주의 소정리(영어: Little Bézout's theorem, 프랑스의 수학자인 에티엔 베주에서 이름을 따옴)[1]는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 를 1차 다항식 로 나눈 나머지가 라는 내용이다.

나눗셈 정리의 따름정리이며 인수 정리를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 인 경우에만 의 배수이다.[2] 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해 할 수 있다.[3]

정의[편집]

가환환 다항식 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 를 다항식 로 나눈 나머지는 이다.

더 일반적으로, 다항식 중심의 원소 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 를 다항식 로 나눈 나머지는 이다.

증명[편집]

나눗셈 정리를 통한 증명:

가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 및 나머지 가 유일하게 존재한다.

나머지 가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 이거나

이어야 하기 때문이다. 따라서

이다.

테일러 전개를 통한 증명:

다음 등식을 위에서 보일 수 있다.

여기서

표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, 로 나눈 나머지는 이다.

증명3:

의 배수임을 보이면 된다.

꼴의 다항식들의 -선형 결합이므로 의 배수가 맞다.

[편집]

다항식 에서 으로 나눈 몫과 나머지는 각각 이다. 따라서 이다.

응용[편집]

나머지 정리에 따라, 로 나누는 조립제법을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다.

인수 정리는 나머지 정리에서 인 특수한 경우이다.

각주[편집]

  1. Piotr Rudnicki (2004년). “Little Bézout Theorem (Factor Theorem)” (PDF). 《Formalized Mathematics》 12 (1): 49–58. 
  2. Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning
  3. Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning