그뢰브너 기저

가환대수학에서 그뢰브너 기저(Gröbner基底, 영어: Gröbner basis)는 다항식환의 아이디얼의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

정의

$n$개의 변수 $(x_{1},\dots ,x_{n})$에 대한 단항식(單項式, 영어: monomial)은

$x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{n}^{m_{n}}\qquad (m_{1},\dots ,m_{n}\in \mathbb {N} =\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\})$

과 같은 꼴의 다항식이다. $n$개 변수에 대한 단항식 순서(單項式順序, 영어: monomial order)는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 전순서 $\leq$이다. 모든 단항식 $M,N,P$에 대하여,

• $M<N\iff MP<NP$
• $M<MP$

체 $K$에 대한 다항식환 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$을 생각하자. 그렇다면 다항식 $p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]$은 단항식의 합으로 분해할 수 있다. 단항식 순서 $\leq$에 대한 다항식 $p$의 최고차항(영어: leading term) $\operatorname {lt} p$은 $p$를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 $\leq$에 대하여 가장 큰 단항식이다.

아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq K[x_{1},\dots ,x_{n}]$와 단항식 순서 $\leq$가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 $G\subset {\mathfrak {a}}$의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 $(\operatorname {lt} G)$가 ${\mathfrak {a}}$의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 $(\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})$와 일치한다면, $G$를 ${\mathfrak {a}}$의 그뢰브너 기저라고 한다.

$(\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})=(\operatorname {lt} G)$

역사

브루노 부흐베르거(독일어: Bruno Buchberger)가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 알고리즘을 발표하였다. "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너(독일어: Wolfgang Gröbner)의 이름을 딴 것이다.

참고 문헌

• Buchberger, Bruno; Manuel Kauers (2010). “Groebner basis”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (10): 7763. doi:10.4249/scholarpedia.7763. ISSN 1941-6016. 
• Buchberger, Bruno; Manuel Kauers (2011). “Buchberger's algorithm”. 《Scholarpedia》 (영어) 6 (10): 7764. doi:10.4249/scholarpedia.7764. ISSN 1941-6016. 
• Sturmfels, Bernd (2005년 11월). “What is … a Gröbner basis?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (10): 1199–1200. Zbl 1093.13512. 
• Roune, Bjarke Hammersholt; Michael Stillman (2012). “Practical Gröbner basis computation”. 《Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation》 (영어). arXiv:1206.6940. Bibcode:2012arXiv1206.6940H. 2014년 3월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함. 
• Becker, Thomas; Volker Weispfenning (1993). 《Gröbner bases: a computational approach to commutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 141. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0913-3. ISBN 978-0-387-97971-7. ISSN 0072-5285. 

외부 링크

• Sturmfels, Bernd (2006년 6월 29일). “Gröbner bases”. 《New Horizons in Undergraduate Mathematics》 (영어). Mathematical Sciences Research Institute. 2014년 8월 25일에 원본 문서 (비디오)에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함. 
• Sturmfels, Bernd. “Gröbner bases and convex polytopes” (영어). Mathematical Sciences Research Institute. 2014년 8월 25일에 원본 문서 (비디오)에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gröbner basis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Gröbner basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.