기하학적 양자화

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양자역학에서, 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 양자화하는 체계적인 방법이다.

정의[편집]

대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

고전적 관측가능량들은 위의 함수로 나타내어진다.

기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

  1. 준양자화(영어: prequantization)
  2. 양자화
  3. 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction)

준양자화[편집]

심플렉틱 형식 가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자.

즉, 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 이 경우, 위에 다음 조건을 만족시키는 복소 선다발 이 존재한다.

여기서 은 1차 천 특성류이다. 또한, 이 선다발에 접속(connection) 를 정의하여, 그 곡률 이 다음을 만족시키게 할 수 있다.

준양자 구조(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 이와 같은 구조 이다. 만약 심플렉틱 다양체 가 준양자화 조건을 만족시킨다면, (선다발 동형사상에 대하여) 유일한 준양자 구조가 존재한다.

준양자 구조

으로 대체시키는 것은
로 대체시키는 것과 같다. 일반화 위치 를 고정시킨다면 일반화 운동량

이므로, 이는

와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

이다. 양자역학경로 적분에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

으로 생각할 수 있다. 따라서, 극한은 , 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

양자화[편집]

다양체 위의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 의 부분다발 이다.[1]:Definition 7.4[2]:§4

  • (적분가능성) 모든 에 대하여, 이다. 여기서 리 미분이다.
  • (극대성) 보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, 이 유한 차원이라면, 의 차원은 이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 에 대하여, 의 제곱 적분 가능(square-integrable) 단면 가운데, 의 방향으로 일정한 단면들이다.

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 "제곱 적분 가능 단면"이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. 는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(영어: leaf space) 를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 으로부터 유도된 측도가 존재한다. 을 만족시키는 단면의 경우 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

메타플렉틱 보정[편집]

양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자역학적 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(영어: metaplectic structure)를 정의해야 한다.

심플렉틱 다양체 접다발 은 심플렉틱 구조로 인해 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 연결 두 겹 피복군이다. (이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 메타플렉틱 구조는 접다발의 구조를 메타플렉틱 구조 로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 과 그 위에 정의된 의 단면 이다. 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 의 원소 로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

극성화의 종류[편집]

기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.

공변접다발[편집]

공변접다발의 경우, 심플렉틱 형식 에 대한 심플렉틱 퍼텐셜

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소 선다발

은 자명하고, 그 위에 를 성분으로 가지는 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

따라서 힐베르트 공간은 위의 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

으로 대응된다.

켈러 다양체[편집]

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 배)인 켈러 다양체 을 생각하자. 이 경우, 에 대응하는 해석적 선다발 이 존재하며, 그 위에 곡률이 인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소 구조를 사용하여, 복소화 접다발 를 다음과 같이 분해할 수 있다.

여기서 는 정칙 벡터장들의 다발이고, 는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

의 (제곱적분가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

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유클리드 공간의 공변접다발 극성화[편집]

구체적으로, 위상 공간이 차원 유클리드 공간 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

에 대응하는 접속은 다음과 같다.

극성화

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

반대로, 운동량 방향의 극성화

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.[1]:Example 7.5

즉,

의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

유클리드 공간의 켈러 극성화[편집]

평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.[1]:Example 7.10

구체적으로, 위상 공간이 차원 유클리드 공간 인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.

여기에 복소구조를 주어

으로 생각하고, 켈러 극성화

를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 가운데

인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는

의 꼴이며, 여기서 는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.

이들은 차원 조화 진동자번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(영어: Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다.

리만 구의 양자화[편집]

리만 구 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻는다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 인자 에 대응하는 선다발 로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

이다. 이는 스핀 의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, 로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간

을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.

콤팩트 켈러 다양체의 양자화[편집]

보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 위에, 양의 정수 에 대하여 곡률이 가 되는 복소수 해석적 선다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지

가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.[1]:Example 7.11

여기서 토드 특성류이다.

특히, 이 복소수 차원이라면

이 되므로, 고전 극한 에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 에 수렴하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9. 
  2. Ritter, William Gordon (2002). “Geometric quantization” (영어). arXiv:math-ph/0208008. Bibcode:2002math.ph...8008R. 

바깥 고리[편집]