기하학적 양자화

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양자역학에서, 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 양자화하는 체계적인 방법이다.

정의[편집]

대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

고전적 관측가능량들은 M 위의 함수로 나타내어진다.

기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

  1. 준양자화(영어: prequantization)
  2. 양자화
  3. 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction)

준양자화[편집]

심플렉틱 형식 \omega가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자.

[\omega/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)

즉, \omega/2\pi코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 이 경우, M 위에 다음 조건을 만족시키는 복소 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재한다.

  • c_1(L)=[\omega/2\pi]

여기서 c_1은 1차 천 특성류이다. 또한, 이 선다발에 접속(connection) \nabla를 정의하여, 그 곡률 F_\nabla이 다음을 만족시키게 할 수 있다.

  • F_\nabla=i\omega

준양자 구조(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 이와 같은 구조 (L,A)이다. 만약 심플렉틱 다양체 (M,\omega)가 준양자화 조건을 만족시킨다면, (선다발 동형사상에 대하여) 유일한 준양자 구조가 존재한다.

준양자 구조 \mathcal L

\mathcal L\to\mathcal L^{\otimes n}으로 대체시키는 것은
\omegan\omega로 대체시키는 것과 같다. 일반화 위치 q^i를 고정시킨다면 일반화 운동량
p_i=q_j\omega_{ij}

이므로, 이는

p_i\mapsto np_i

와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 S는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

S/\hbar\mapsto nS/\hbar=S/(\hbar/n)

이다. 양자역학경로 적분S/\hbar에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

\hbar\mapsto\hbar/n

으로 생각할 수 있다. 따라서, n\to\infty 극한은 \hbar\to0, 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

양자화[편집]

다양체 M 위의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 TM^{\mathbb C}의 부분다발 \mathcal P\subset TM^{\mathbb C}이다.[1]:Definition 7.4[2]:§4

  • (적분가능성) 모든 u,v\in\mathcal P에 대하여, [u,v]\in\mathcal P이다. 여기서 [\cdot,\cdot]리 미분이다.
  • (극대성) \mathcal P보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, M이 유한 차원이라면, \mathcal P의 차원은 \dim_{\mathbb R}\mathcal P=\dim M이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 (M,\mathcal L,\nabla,\mathcal P)에 대하여, \mathcal H\mathcal L의 제곱 적분 가능(square-integrable) 단면 가운데, \mathcal P의 방향으로 일정한 단면들이다.

\mathcal H=\{s\in L^2(M,\mathcal L)\colon\nabla_{\mathcal P}s=0\}

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다.

여기서 "제곱 적분 가능 단면"이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. \mathcal P는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간(영어: leaf space) M/\mathcal P를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 M으로부터 유도된 측도가 존재한다. \nabla_{\mathcal P}s=0을 만족시키는 단면의 경우 M/\mathcal P 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 M/\mathcal P 위에 유도된 측도에 대한 것이다.

메타플렉틱 보정[편집]

양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자역학적 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(영어: metaplectic structure)를 정의해야 한다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega)접다발 TM은 심플렉틱 구조로 인해 \operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R) 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 \operatorname{Mp}(2k,\mathbb R)\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R)연결 두 겹 피복군이다. (\pi_1(\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R))=\mathbb Z이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 (M,\omega)메타플렉틱 구조는 접다발의 \operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R) 구조를 메타플렉틱 구조 \operatorname{Mp}(\dim M,\mathbb R)로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)

준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 N\subset M과 그 위에 정의된 \mathcal L의 단면 s\in\Gamma(N,\mathcal L\otimes\sqrt{\det T^*N})이다. s^2N 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 \mathcal H의 원소 \tilde s\in L^2(M,\mathcal L)로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 f\colon M\to\mathbb R 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.

극성화의 종류[편집]

기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.

공변접다발[편집]

공변접다발의 경우, 심플렉틱 형식 \omega=dp_i\wedge dq^i에 대한 심플렉틱 퍼텐셜

\theta=p_i\wedge dq^i

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, \omega=d\theta완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소 선다발

\mathcal L\cong M\times\mathbb C

은 자명하고, 그 위에 \theta를 성분으로 가지는 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

\mathcal P=TN^{\mathbb C}\subset TM^{\mathbb C}

따라서 힐베르트 공간은 N 위의 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간

\mathcal H=L^2(N)

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

\hat x^i\colon f\mapsto x_if
\hat p_i\colon f\mapsto-i\partial_if

으로 대응된다.

켈러 다양체[편집]

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 2\pi배)인 켈러 다양체 M을 생각하자. 이 경우, \omega/2\pi에 대응하는 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재하며, 그 위에 곡률이 i\omega인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소 구조를 사용하여, 복소화 접다발 TM^{\mathbb C}를 다음과 같이 분해할 수 있다.

TM^{\mathbb C}=TM^+\oplus TM^-

여기서 TM^+는 정칙 벡터장들의 다발이고, TM^-는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

\mathcal P=TM^-

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

\mathcal H=H^0(M,L)

L의 (제곱적분가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

\hat z^i\colon f\mapsto z^if
-i\partial_i\colon f\mapsto-i\partial_if

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

[편집]

유클리드 공간의 공변접다발 극성화[편집]

구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n} 인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

\mathbb R^{2n}\cong T^*\mathbb R^n
=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\}

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

\theta=\sum_{i=1}^np_idx_i

에 대응하는 접속은 다음과 같다.

\nabla_{\partial/\partial p_i}=\frac\partial{\partial p_i}
\nabla_{\partial/\partial q_i}=\frac\partial{\partial q_i}-2\pi i p_i

극성화


\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial p}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial p^i}=0\forall i=1,\dots,n\right\}
\cong L^2(\mathbb R^n)

반대로, 운동량 방향의 극성화


\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial x}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.[1]:Example 7.5

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i p_if(x)=0\forall i=1,\dots,n\right\}

즉,

f(x,p)=f(p)\exp\left(2\pi i\sum_{i=1}^np_ix_i\right)

의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

유클리드 공간의 켈러 극성화[편집]

평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.[1]:Example 7.10

구체적으로, 위상 공간이 2n차원 유클리드 공간 \mathbb R^{2n}인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.

\nabla_i=\frac\partial{\partial x_i}+x_i

여기에 복소구조를 주어

\mathbb R^{2n}\cong\mathbb C^n
z_i=x_i+x_{i+n},\quad i=1,\dots,n
\frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)
\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)

으로 생각하고, 켈러 극성화

\mathcal P=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\left\{\frac\partial{\partial\bar z}_1,\dots,\frac\partial{\partial\bar z}\right\}

를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 s\colon\mathbb C^n\to\mathbb C가운데

\nabla_{\partial/\partial z}s(z,\bar z)=
\left(2\frac\partial{\partial\bar z}+z\right)s(z,\bar z)=0

인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는

s(z,\bar z)=f(z)\exp\left(-\sum_iz_i\bar z^i/2\right)

의 꼴이며, 여기서 f\colon\mathbb C\to\mathbb C는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\exp\left(-\sum_iz_i\bar z_i\right)\,d^{2n}z<\infty

이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.

s_\alpha=z^\alpha\exp(-z\bar z/2),\qquad \alpha\in\mathbb N^n

이들은 n차원 조화 진동자\alpha번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(영어: Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다.

리만 구의 양자화[편집]

리만 구 \hat{\mathbb C} 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻는다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 k인자 D에 대응하는 선다발 \mathcal O(D)로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

\mathcal H(k)=\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\}

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

\dim_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\{k+1,0\}

이다. 이는 스핀 k/2의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, kk-1로 치환하여야 한다.)

보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 \Sigma 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 D에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간

\mathcal H(D)=H^0(\Sigma,\mathcal O(D))

을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.

콤팩트 켈러 다양체의 양자화[편집]

보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 M 위에, 양의 정수 k\in\mathbb Z^+에 대하여 곡률이 k\omega가 되는 복소수 해석적 선다발 \mathcal L^{\otimes k}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지

\mathcal H(k)=H^0(M,\mathcal L^{\otimes n})

가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 k에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.[1]:Example 7.11

\mathcal H(k)=\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M\qquad(k\gg1)

여기서 \operatorname{Td}M토드 특성류이다.

특히, M이 복소수 n차원이라면

\int_M\exp(k\omega)\operatorname{Td}M
=\sum_{i=0}^n\int_M\frac{k^i\omega^i}{i!}\operatorname{Td}M
=k^n\int_M\omega^n/n!+\frac1{(n-1)!2}k^{n-1}\int_M\omega c_1+\cdots

이 되므로, 고전 극한 k\to\infty에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 \int_M(k\omega)^n/n!에 수렴하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9. 
  2. Ritter, William Gordon (2002). “Geometric quantization” (영어). arXiv:math-ph/0208008. Bibcode:2002math.ph...8008R. 

바깥 고리[편집]