리우빌 미분 형식

미분기하학에서, 리우빌 미분 형식(Liouville微分形式, 영어: Liouville differential form)은 매끄러운 다양체의 공변접다발(의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 미분 형식이다. 그 외미분은 심플렉틱 다양체(또는 멀티심플렉틱 다양체)의 구조를 정의한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 자연수 $k\in \mathbb {N}$

그렇다면, $M$의 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}M$의 $k$차 올별 외대수

$E=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M$

를 생각하자. 그 국소 좌표는

$(x,p)\colon x\in M,\;p\in E_{x}=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M$

의 꼴이다. 이 경우 동형 사상

$\mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}$

및

$\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \bigwedge ^{k}(E_{x}\oplus \mathrm {T} _{x}M)\cong \bigoplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E_{x}\otimes \bigwedge ^{i}\mathrm {T} _{x}M=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}\otimes \bigwedge ^{k-1}\mathrm {T} _{x}M\oplus \dotsb \oplus \bigwedge ^{k}E_{x}$

에 의하여, 사영 사상

$\pi \colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\twoheadrightarrow \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M$

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점 $(x,p)\in M$에 대하여

$\theta |_{(x,p)}\colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R}$

$\theta |_{(x,p)}\colon w\mapsto p(\pi (w))\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M,\;w\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}E\right)$

를 정의할 수 있다. 이는 $E$ 위의 $k$차 미분 형식

$\theta \in \Omega ^{k}(E)$

를 정의한다. 이를 $E$ 위의 리우빌 미분 형식이라고 한다.

국소 좌표를 통한 정의

위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다. $x\in M$ 근처의 국소 좌표계 $x^{i}$를 생각하자. 이 경우 $E$의 국소 좌표는

$(x^{i},p_{j_{1}j_{2}\dotso j_{k}})$

의 꼴이다. 이 경우

$\theta ={\frac {1}{k!}}p_{i_{1}i_{2}\dotso i_{k}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}$

이다.

성질

매끄러운 다양체 $M$에 대하여, $E=\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M$ 위의 리우빌 미분 형식 $\theta \in \Omega ^{k}(E)$가 주어졌을 때,

$\mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}(E)$

는 $E$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 이룬다. 특히, $k=1$일 때, 공변접다발의 전체 공간 $E=\mathrm {T} ^{*}M$은 항상 표준적으로 심플렉틱 다양체를 이룬다.

예

$k=0$일 때, 0차 리우빌 미분 형식은 $\textstyle \bigwedge ^{0}\mathrm {T} ^{*}M=M\times \mathbb {R}$ 위의 0차 미분 형식 (매끄러운 함수)

$\theta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M\times \mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

$\theta \colon (x,t)\mapsto t$

이다.

$k>\dim M$일 때, $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M=M$이므로, 이 경우 $k$차 리우빌 미분 형식은 0이다.

$k=\dim M$일 때, $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M$은 선다발이다. $M$이 가향 다양체일 때, 임의의 부피 형식 $\omega$를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면

$\theta \in \Omega ^{\dim M}(M\times \mathbb {R} )$

$\theta _{(x,t)}=t\omega |_{x}$

이다.

역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Liouville-Poincaré 1-form”. 《nLab》 (영어).