멀티심플렉틱 다양체

미분기하학에서 멀티심플렉틱 다양체(multisymplectic多樣體, 영어: multisymplectic manifold)는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.^{:Chapter 2} 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의

자연수 $k\in \mathbb {N}$가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조(영어: $k$-multisymplectic structure)

$\omega \in \Omega ^{k+1}(M)$

은 다음과 같은 성질을 갖는 $k+1$차 닫힌 미분 형식이다.

• 임의의 점 $x\in M$ 및 접벡터 $v\in \mathrm {T} _{x}M\setminus \{0\}$에 대하여, $v\lrcorner \omega _{x}\neq 0\in \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M$이다.

여기서

$\lrcorner \colon \mathrm {T} _{x}M\times \bigwedge ^{k+1}\mathrm {T} ^{*}M\to \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M$

는 $x$에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

$k$차 멀티심플렉틱 다양체(영어: $k$-multisymplectic manifold) $(M,\omega )$는 매끄러운 다양체와 그 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

성질

$n$차원 매끄러운 다양체 위에 $k$차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

$k+1\leq n\leq {\binom {n}{k}}$

여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 $k+1$차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M$의 차원이 $\mathrm {T} _{x}M$의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, $n\geq 6$차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜$n-4$차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.^{:Remark 2.7}

멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L_∞-대수

$k$차 멀티심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 해밀토니언 미분 형식(영어: Hamiltonian differential form)은 다음 조건을 만족시키는 $k-1$차 미분 형식 $\alpha \in \Omega ^{k-1}(M)$이다.

$\exists X\in \operatorname {Vect} (M)\colon \mathrm {d} \alpha =X\lrcorner \omega$

그 공간을 $\Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)$이라고 하자.

이제, 등급 벡터 공간

$L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}L_{i}$

$L_{0}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)$

$L_{i}=\Omega ^{k-1-i}(M)\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n-1\}$

위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.^{:Theorem 3.14}

$[\alpha ]=\mathrm {d} \alpha \qquad \forall \alpha \in L,\;\deg \alpha >0$

$[\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{p}]=(-)^{1+\lceil p/2\rceil }(X_{1}\wedge \dotsb \wedge X_{p})\lrcorner \omega \qquad (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M),\;\forall i\colon \mathrm {d} \alpha _{i}=X_{i}\lrcorner \omega )$

연산

(서로 다른 차원일 수 있는) 두 $k$차 멀티심플렉틱 다양체 $(M_{1},\omega _{1})$, $(M_{2},\omega _{2})$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간

$M=M_{1}\times M_{2}$

$\pi _{i}\colon M\twoheadrightarrow M_{i}$

에 대하여,

$\omega =\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}$

를 정의하자. 만약 $k\geq 1$이라면, 이는 $M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

증명:

임의의 $x=(x_{1},x_{2})\in M$에서, 접벡터

$v=(v_{1},v_{2})\in \mathrm {T} _{x}M=\mathrm {T} _{x_{1}}M_{1}\oplus \mathrm {T} _{x_{2}}M_{2}$

에 대하여,

$v\lrcorner \omega =v_{1}\lrcorner \omega _{1}+v_{2}\lrcorner \omega _{2}$

이다. $k>0$이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 $M_{1}$과 $M_{2}$가 각각 $k$차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 $v_{1}$과 $v_{2}$가 각각 0인 것이다.

예

0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

$n$차원 $n-1$차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 $n$차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

리 군

콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

$G$의 실수 리 대수를

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)$

라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(영어: string algebra)

${\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} [1]$

$[x,y,z]=\mu (x,y,z)\in \mathbb {R} [1]\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}$

를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 $G$에 대응되는 L₂-대수

$L(G)=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)\oplus \Omega ^{0}(G)[1]$

를 생각하자. $G$는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수

$L(G)^{G}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\oplus \Omega ^{0}(G)^{G}[1]$

를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로

$\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}$

$\Omega ^{0}(G)^{G}\cong \mathbb {R}$

이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

특수 홀로노미

홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$이 주어졌을 때

$\omega _{1}\wedge \omega _{1}+\omega _{2}\wedge \omega _{2}+\omega _{3}\wedge \omega _{3}$

은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.^{:Example 2.11}

공변접다발의 외대수

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 $k$차 외대수

$\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M$

을 생각하자. 그 위에는 표준적인 $k$차 미분 형식

$\theta \in \Omega ^{k}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)$

$\theta |_{(x,p)}=p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)$

이 존재한다. 그 외미분

$\omega =\mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)$

$\omega |_{(x,p)}=\mathrm {d} p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)$

은 $n+\textstyle {\binom {n}{k}}$차원 매끄러운 다양체 $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.^{:Example 2.10}

시그마 모형

다음이 주어졌다고 하자.

• $m$차원 매끄러운 다양체 $M$
• $k$차원 매끄러운 다양체 $\Sigma$
• $\Sigma$ 위의 부피 형식 $\omega \in \Omega ^{k}(\Sigma )$

그렇다면 벡터 다발

$\mathrm {T} \Sigma \otimes _{M\times \Sigma }\mathrm {T} ^{*}M$

의 전체 공간의 국소 좌표를

$(x^{\mu },\phi ^{i},\pi _{i}^{\mu })\qquad (x\in \Sigma ,\;\phi \in M,\;\pi \in \mathrm {T} _{x}\Sigma \otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M)$

위에 다음과 같은 구조를 생각하자.

$\theta =\pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega$

이는 $k$차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분

$\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega$

은 $k+1$차 미분 형식이며, 만약 $k\geq 2$일 경우 $k$차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

증명:

임의의

$x\in \Sigma$

$\phi \in M$

$v^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\in \mathrm {T} _{x}\Sigma$

$\chi ^{i}{\frac {\partial }{\partial \phi ^{i}}}\in \mathrm {T} _{\phi }M$

$\nu _{\mu }^{i}\,\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\in \mathrm {T} _{\phi }M\otimes \mathrm {T} _{x}^{*}N$

에 대하여,

$(v,\chi ,\nu )\lrcorner \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\wedge \mathrm {d} \phi ^{i}\wedge v^{\nu }\psi _{\nu \mu }-\chi ^{i}\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\wedge \psi _{\mu }+\nu _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge \psi _{\mu }$

이다. 여기서 편의상

$\psi _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega$

$\psi _{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner {\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\lrcorner \omega$

으로 정의하였다. $k\geq 2$일 경우 $\psi _{\nu \mu }\neq 0$이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 $v$와 $\chi$와 $\nu$가 각각 0인 것이다.

이 구성은 $\Sigma \to M$ 시그마 모형의 공변 위상 공간(영어: covariant phase space)으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 $\pi _{i}^{\mu }$는 일반화 운동량에 해당한다.

외부 링크

• “n-plectic geometry”. 《nLab》 (영어). 
• “n-plectic vector space”. 《nLab》 (영어). 
• “n-plectic form”. 《nLab》 (영어). 
• “multisymplectic geometry”. 《nLab》 (영어).