푸비니-스투디 계량

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수학에서, 푸비니-스투디 계량(Fubini–Study metric)은 복소사영공간 \mathbb CP^n에 주어지는 켈러 계량이다.

역사[편집]

1904년에 귀도 푸비니가,[1] 1905년에 에두아르트 스투디(독일어: Eduard Study)가[2] 독자적으로 발견하였다.

정의[편집]

n차원 복소사영공간 \mathbb CP^n동차좌표 Z_0,Z_1,\dots,Z_n을 부여하고, 벡터

\mathbf z=Z_0^{-1}(Z_1,\dots,Z_n)\in\mathbb C^n

로 나타내자. 그렇다면 푸비니-스투디 계량의 켈러 퍼텐셜은

K=\ln(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})

이다. 즉, 그 리만 계량

ds^2=\frac{(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})d\mathbf z\cdot d\bar{\mathbf z}
-(\bar{\mathbf z}\cdot d\mathbf z)(\mathbf z\cdot d\bar{\mathbf z})}{(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})^2}

이다.

구의 계량과의 관계[편집]

1차원 복소사영공간(리만 구면)은 위상수학적으로 2차원 이다. 이 경우, 푸비니-스투디 계량은

ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1+r^2)^2}=\frac14(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)

이므로, 이는 반지름이 1/2인 구를 나타내는 것을 알 수 있다. 따라서 그 가우스 곡률은 4이다.

참고 문헌[편집]

  1. (이탈리아어) Fubini, Guido (1904년). Sulle metriche definite da una forma Hermitiana. Nota. 《Atti dell'Istitituto Veneto di Scienze》 63: 501–513. JFM 35.0142.02.
  2. (독일어) Study, Eduard (1905년 9월). Kürzeste Wege im komplexen Gebiet. 《Mathematische Annalen》 60 (3). doi:10.1007/BF01457616. JFM 36.0614.02.