초직관주의 논리학

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초직관주의 논리학(superintuitionistic logic, 超直觀主義 論理學)이란 직관주의 논리학(intuitionistic logic)을 확장한 명제 논리학 체계이다. 고전 논리학에서 다루는 명제 논리학은 가장 강한 초직관주의 논리학이며 직관주의 논리학 자체는 가장 약한 초직관주의 논리학이므로, 고전 논리학과 직관주의 논리학의 '사이'에 있는 논리학 체계들이라는 의미에서 중간 논리학(intermediate logic, 中間 論理學)이라고도 한다.

정의[편집]

초직관주의 논리학의 통사론적 체계 L은 다음의 조건을 만족하는 정식들의 집합으로 구성된다.

  1. 직관주의 논리학의 모든 공리들은 L에 속한다.
  2. P와 Q가 정식이며 P와 P→Q가 L에 속한다면, Q도 L에 속한다. (전건 긍정식에 대해 닫혀 있음)
  3. 명제 변수 p, q, r, ...에 대하여 F(p, q, r, ...)가 L에 속하는 정식이고 G1, G2, G3, ...가 임의의 정식이라면, F(G1, G2, G3, ...)도 L에 속하는 정식이다. (치환에 대해 닫혀 있음)

사례[편집]

초직관주의 논리학 체계는 직관주의 논리학 체계에서 특정한 공리를 추가하여 정의할 수 있다. 사례들은 다음과 같다.

  • 직관주의 논리학(IPC): IPC
  • 고전 논리학(CPC): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p (마지막 것은 퍼스의 법칙)
  • 약한 배중률 논리학(얀코프 논리학 또는 드 모르간 논리학[1], KC): IPC + ¬p ∨ ¬¬p
  • 괴델-더밋 논리학(LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
  • 크라이젤-퍼트넘 논리학(KP): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
  • 스콧 논리학 (SL): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
  • 스메타니치 논리학(SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
  • 유계 기수 논리학 (BCn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to p_i\bigr)
  • 유계 폭(width) 논리학 또는 유계 반사슬 논리학(BWn, BAn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)
  • 유계 깊이(depth) 논리학(BDn): IPC + pn ∨ (pn → (pn−1 ∨ (pn−1 → ... → (p2 ∨ (p2 → (p1 ∨ ¬p1)))...)))
  • 유계 최대폭(top width) 논리학 (BTWn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to\neg\neg p_i\bigr)
  • 유계 분지(branching) 논리학 (Tn, BBn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i
  • 괴델 n치 논리학 (Gn): LC + BCn−1 = LC + BDn−1

이러한 초직관주의 논리학들은 직관주의 논리학을 최소원소로, 고전 명제 논리학을 최대원소로 하는 완비 격자를 형성한다. 또한 스메타니치 논리학(SmL)은 이런 초직관주의 논리학들의 격자에서 유일한 공원자(coatom)이다.

헤이팅 대수와의 관계[편집]

헤이팅 대수 H가 주어지면, H에서 항진(valid)인 정식들의 집합은 어떤 초직관주의 논리학 체계를 구성한다. 역으로, 초직관주의 논리학 체계가 주어지면, 여기서 어떤 린덴바움 대수가 헤이팅 대수가 되도록 구성하는 것이 가능하다.

양상 논리학과의 관계[편집]

초직관주의 논리학 체계는 양상 논리학으로 다음과 같이 번역할 수 있다. 이를 괴델-타르스키 번역(Gödel–Tarski translation)이라 한다.

  •  T(p_n) = \Box p_n
  •  T(\neg A) = \Box \neg T(A)
  •  T(A \and B) = T(A) \and T(B)
  •  T(A \vee B) = T(A) \vee T(B)
  •  T(A \to B) = \Box (T(A) \to T(B))

M을 어떤 양상 논리학 체계라 하자, 그러면, 이상의 번역에 의해,

  • C(M) := {A | T(A) ∈ M}

은 어떤 초직관주의 논리학 체계가 되는데, 이때 M을 C(M)의 양상 동반원(modal companion)이라 한다. 몇 가지 예로,

  • IPC = C(S4)
  • KC = C(S4.2)
  • LC = C(S4.3)
  • CPC = C(S5)

등이 있다. 이 대응은 유일하지 않을 수 있다. 즉, 어떤 초직관주의 논리학 체계에 대해 여러 양상 동반원이 있을 수 있다.

주석[편집]

  1. Constructive Logic and the Medvedev Lattice, Sebastiaan A. Terwijn,Notre Dame J. Formal Logic Volume 47, Number 1 (2006), p. 73-82.

참고 문헌[편집]

  • Toshio Umezawa. "On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic". Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959.
  • Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.