초직관 논리

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논리학에서, 초직관 논리(超直觀論理, 영어: superintuitionistic logic) 또는 중간 논리(中間論理, 영어: intermediate logic)는 직관 논리보다는 더 강하지만, 고전 논리보다 더 약한 논리 체계이다.

정의[편집]

초직관 논리통사론적 체계 L은 다음의 조건을 만족하는 정식들의 집합으로 구성된다.

  1. 직관 논리의 모든 공리들은 L에 속한다.
  2. (전건 긍정의 형식에 대해 닫힘) P와 Q가 정식이며 P와 P→Q가 L에 속한다면, Q도 L에 속한다.
  3. (치환에 대해 닫힘) 명제 변수 p, q, r, ...에 대하여 F(p, q, r, ...)가 L에 속하는 정식이고 G1, G2, G3, ...가 임의의 정식이라면, F(G1, G2, G3, ...)도 L에 속하는 정식이다.

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초직관 논리는 직관 논리에서 특정한 공리를 추가하여 정의할 수 있다. 명제 논리인 초직관 논리의 예는 다음을 들 수 있다.

  • 직관 논리(IPC): IPC
  • 고전 논리학(CPC): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p (마지막 것은 퍼스의 법칙)
  • 약한 배중률 논리학(얀코프 논리학 또는 드 모르간 논리학[1], KC): IPC + ¬p ∨ ¬¬p
  • 괴델-더밋 논리학(LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
  • 크라이젤-퍼트넘 논리학(KP): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
  • 스콧 논리학 (SL): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
  • 스메타니치 논리학(SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
  • 유계 기수 논리학 (BCn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to p_i\bigr)
  • 유계 폭(width) 논리학 또는 유계 반사슬 논리학(BWn, BAn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)
  • 유계 깊이(depth) 논리학(BDn): IPC + pn ∨ (pn → (pn−1 ∨ (pn−1 → ... → (p2 ∨ (p2 → (p1 ∨ ¬p1)))...)))
  • 유계 최대폭(top width) 논리학 (BTWn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to\neg\neg p_i\bigr)
  • 유계 분지(branching) 논리학 (Tn, BBn): \textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i
  • 괴델 n치 논리학 (Gn): LC + BCn−1 = LC + BDn−1

이러한 초직관 논리들은 직관 논리를 최소원소로, 고전 명제 논리를 최대원소로 하는 완비 격자를 형성한다. 또한 스메타니치 논리학(SmL)은 이런 초직관주의 논리학들의 격자에서 유일한 공원자(coatom)이다.

의미론[편집]

헤이팅 대수 의미론[편집]

초직관 논리의 명제들의 린덴바움-타르스키 대수헤이팅 대수를 이루며, 반대로 주어진 헤이팅 대수에 대하여, 이를 린덴바움-타르스키 대수로 하는 초직관 논리 이론을 정의할 수 있다. 따라서, 주어진 초직관 논리에 대하여, 적절한 성질을 만족시키는 헤이팅 대수를 사용하여 의미론을 정의할 수 있다.

만약 이 헤이팅 대수가 불 대수라면 이렇게 얻어지는 논리는 고전 논리이고, 반면 이 헤이팅 대수가 자유 헤이팅 대수라면 이렇게 얻어지는 논리는 직관 논리이다.

양상 논리와의 관계[편집]

초직관 논리는 양상 논리로 다음과 같이 번역할 수 있다. 이를 괴델-타르스키 번역(Gödel–Tarski translation)이라 한다.

  •  T(p_n) = \Box p_n
  •  T(\lnot A) = \Box \lnot T(A)
  •  T(A \land B) = T(A) \land T(B)
  •  T(A \lor B) = T(A) \lor T(B)
  •  T(A \to B) = \Box (T(A) \to T(B))

M을 어떤 양상 논리 체계라 하자, 그러면, 이상의 번역에 의해,

  • C(M) := {A | T(A) ∈ M}

은 어떤 초직관 논리 체계가 되는데, 이때 M을 C(M)의 양상 동반원(modal companion)이라 한다. 몇 가지 예로,

  • IPC = C(S4)
  • KC = C(S4.2)
  • LC = C(S4.3)
  • CPC = C(S5)

등이 있다. 이 대응은 유일하지 않을 수 있다. 즉, 어떤 초직관 논리에 대해 여러 양상 동반원이 있을 수 있다.

크립키 모형[편집]

양상 논리직관 논리와 마찬가지로, 초직관 명제 논리의 의미론 역시 크립키 모형으로 정의할 수 있다.

주석[편집]

  1. Constructive Logic and the Medvedev Lattice, Sebastiaan A. Terwijn,Notre Dame J. Formal Logic Volume 47, Number 1 (2006), p. 73-82.
  • (영어) Umezawa, Toshio (1959년 6월). On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. 《Journal of Symbolic Logic》 24 (2): 141–153. doi:10.2307/2964756. JSTOR 2964756. MR115906. Zbl 0143.01004.
  • (영어) Hosoi, Tsutomu, Hiroakira Ono (1973년). Intermediate propositional logics (a survey). 《Journal of Tsuda College》 5: 67–82.
  • (영어) Ono, Hiroakira (1972년). A study of intermediate predicate logics. 《Publications of the Research Institute of Mathematical Sciences of Kyoto University》 8: 619–649. Zbl 0281.02033.
  • Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Intermediate logic. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).
  • (영어) Moschovakis, Joan (2014년 5월 23일). Intuitionistic logic. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》.