정팔포체: 두 판 사이의 차이
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'''정팔포체''' 또는 '''4차원 초입방체'''({{llang|en|Tesseract}})는 8개의 정육면체로 이루어진 4차원의 정다포체이다. |
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정육면체 철사를 비눗물에 2번 담궈서 [[비눗방울]]을 만들 때 일종의 정팔포체의 투영의 형태가 되는 것으로 알려져 있다. (단, |
정육면체 철사를 비눗물에 2번 담궈서 [[비눗방울]]을 만들 때 일종의 정팔포체의 투영의 형태가 되는 것으로 알려져 있다. (단, 이때 면은 약간 비뚤어진다.)<ref>{{웹 인용|url=http://www2.tokai.or.jp/seed/seed/minnna14.htm|제목=三角四角のしゃぼん玉?|번역제목=삼각 사각의 비눗방울?|언어=일본어|확인날짜=2016-11-21}}</ref> |
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[[기하학]]적으로 보았을 때 정팔포체는 [[정육면체]]의 4차원 아날로그라고 할 수 있<!-- 으며 정팔포체는 to the cube as the cube is to the [[사각형]]. (※미번역 내용) -->다. 정육면체의 표면이 6개의 정사각형 모양의 [[면 (기하학)|면]]으로 구성되어 있는 것처럼 정팔포체의 초표면(hypersurface)은 8개의 정육면체 모양의 포로 구성되어 있는 것이다. 정팔포체는 6개의 4차원 볼록 정다포체 중 하나이다. |
[[기하학]]적으로 보았을 때 정팔포체는 [[정육면체]]의 4차원 아날로그라고 할 수 있<!-- 으며 정팔포체는 to the cube as the cube is to the [[사각형]]. (※미번역 내용) -->다. 정육면체의 표면이 6개의 정사각형 모양의 [[면 (기하학)|면]]으로 구성되어 있는 것처럼 정팔포체의 초표면(hypersurface)은 8개의 정육면체 모양의 포로 구성되어 있는 것이다. 정팔포체는 6개의 4차원 볼록 정다포체 중 하나이다. |
2020년 7월 27일 (월) 16:48 판
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정팔포체 | |
---|---|
슈레겔 다이어그램의 모습. | |
종류 | 4차원 볼록 정다포체 |
슐레플리 기호 | {4, 3, 3} t0, 3{4, 3, 2} 또는 {4, 3}×{ } t0, 2{4, 2, 4} 또는 {4}×{4} t0, 2, 3{4, 2, 2} 또는 {4}×{ }×{ } t0, 1, 2, 3{2, 2, 2} 또는 { }×{ }×{ }×{ } |
콕서터 다이어그램 | |
포 | 8개 (4.4.4) |
면 | 24개 {4} |
모서리 | 32개 |
꼭짓점 | 16개 |
꼭짓점 그림 | 사면체 |
페트리 다각형 | 팔각형 |
쌍대 | 정십육포체 |
속성 | 볼록, 점추이, 변추이, 면추이 |
유니폼 색인 | 10 |
정팔포체 또는 4차원 초입방체(영어: Tesseract)는 8개의 정육면체로 이루어진 4차원의 정다포체이다.
정육면체 철사를 비눗물에 2번 담궈서 비눗방울을 만들 때 일종의 정팔포체의 투영의 형태가 되는 것으로 알려져 있다. (단, 이때 면은 약간 비뚤어진다.)[1]
기하학적으로 보았을 때 정팔포체는 정육면체의 4차원 아날로그라고 할 수 있다. 정육면체의 표면이 6개의 정사각형 모양의 면으로 구성되어 있는 것처럼 정팔포체의 초표면(hypersurface)은 8개의 정육면체 모양의 포로 구성되어 있는 것이다. 정팔포체는 6개의 4차원 볼록 정다포체 중 하나이다.
정팔포체의 영어 표기는 일반적으로 tesseract이며 그 외에도 8-cell, C8, octachoron, octahedroid[2], cubic prism, tetracube[주 1]라고도 불린다. 이것은 4차원 초입방체(영어: four-dimensional hypercube) 또는 초입방체의 차원 계열의 일부인 4-정육면체(영어: 4-cube) 또는 "측정 폴리토프"이다.[3]
옥스포드 영어사전(영어: Oxford English Dictionary)에 따르면 1888년 찰스 하워드 힌톤이 그의 저서 《생각의 새로운 시대》(영어: A New Era of Thought)에서 고대 그리스어의 τέσσερεις ακτίνες(téssereis aktines, 4개의 광선)에서 단어를 따와 최초로 tesseract라는 단어를 사용했다고 한다(정팔포체가 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점까지 총 4개의 변이 있다는 성질을 이용한 것이다).[4] 그러나 이 간행물과 힌튼의 후기 저작물에서는 이 단어는 간혹 tessaract라고 쓰이기도 했다.
기하학
정팔포체는 여러 방법으로 만들 수 있다. 정팔포체는 모든 모서리 주위에 함께 접혀진 3개의 정육면체를 가진 정다포체로서 그것은 384개의 사면체 대칭을 가진 슐레플리 기호 {4, 3, 3}을 가지고 있다. 두 개의 평행 정육면체로 구성된 4D 하이프리즘으로 제작되었으며 대칭성 순서 96을 갖는 합성 슐레플리 기호인 {4, 3} × { }로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 64를 갖는 4-4 듀오프리즘일 때 2개의 사각형이 곱집합되며 이것은 합성 슐레플리 기호인 {4}×{4}로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 16을 갖는 하이퍼래탱글로써 그것은 합성 슐레플리 기호인 { } × { } × { } × { } 또는 { }4로 명명될 수 있다.
정팔포체의 각 꼭짓점은 4개의 모서리에 인접하므로 정팔포체의 정점도는 사면체이다. 정팔포체의 이중 폴리토프는 슐레플리 기호 {3,3,4}를 가지고 있는 정십육포체(영어: hexadecachoron 또는 16-cell)이다.
유클리드 4 공간의 표준인 정팔포체는 점(±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록한 선체로 주어진다. 즉 아래와 같은 점으로 구성된다:
정팔포체는 8개의 초평면으로 제한된다(xi = ±1). 비평행형 초평면의 각 쌍은 교차하여 정팔포체에서 정사각형 모양의 면 24개를 형성한다. 3개의 정육면체와 3개의 사각형이 각 모서리에서 교차한다. 모든 정점에서 4개의 정육면체, 6개의 정사각형 및 4개의 모서리가 있는 것이다. 모두 8개의 정육면체, 24개의 사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성되는 것이다.
2차원 투영
초입방체의 구성은 아래와 같이 생각할 수 있다:
- 1차원 : 2개의 점 A와 점 B를 선으로 연결하여 선분 AB를 만든다.
- 2차원 : 2개의 평행한 선분 AB와 선분 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 만든다.
- 3차원 : 2개의 평행한 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH를 연결하여 정육면체 ABCDEFGH를 만든다.
- 4차원 : 2개의 평행한 정육면체 ABCDEFGH와 IJKLMNOP를 연결하여 초입방체 ABCDEFGHIJKLMNOP를 만든다.
정육면체를 2차원 투영할 수 있듯이 정팔포체도 2, 3차원 투영이 가능하다.
2D 평면상에 투영된 꼭짓점들의 위치를 재배치함으로써 더 유익해진다. 이러한 방식으로 더 이상 정팔포체 내의 공간 관계를 반영하지 않는, 아래 예재와 같이 꼭짓점의 연결 구조를 나타내는 그림을 얻어낼 수 있다:
정팔포체는 원칙적으로 2개의 정육면체를 결합하여 얻는다. 이 원칙은 2개의 정사각형으로 이루어진 구조의 정육면체와 비슷하며 하위 차원인 정육면체의 두 복사본을 병치하고 해당 꼭짓점을 연결한다는 것이다. 정팔포체의 각 모서리는 길이가 같다. 이것은 네트워크 토폴로지가 여러 프로세서를 병렬 컴퓨팅으로 연결하기 위한 기초로 정팔포체를 사용할 때 중요하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이고 무게 균형을 허용하는 많은 경로가 있다.
3차원으로의 평행 투영
정팔포체의 3차원 공간으로의 1번째 포의 평행 투영은 정육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 가장 가까운 포와 가장 먼 포가 정육면체로 투영되고 나머지 6개의 포가 6개의 정사각형 모양의 면에 투영된다. 정팔포체의 3차원 공간으로의 1번째 면의 평행 투영은 직육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 이 엔벨로프의 상반부와 하반부에 2쌍의 포가 돌출되어 있으며 나머지 4개의 포는 측면에 투사된다. 정팔포체의 3차원 공간으로의 1번째 모서리의 평행 투영은 육각기둥 모양의 엔벨로프를 갖는다. |
갤러리
-
정팔포체의 회전도
-
왼쪽의 그림을 평행법으로 입체적으로 볼 수 있다.
각주
내용주
출처
- ↑ “三角四角のしゃぼん玉?” [삼각 사각의 비눗방울?] (일본어). 2016년 11월 21일에 확인함.
- ↑ 마틸라 기카, 《미술과 삶의 기하학》(The geometry of Art and Life), 1977년, 68쪽.
- ↑ 엠마누엘로드 위크 엘트, 《초공간의 반투명 폴리토프》(The Semi Regular Polytopes of the Hyperspaces), 1912년[쪽 번호 필요].
- ↑ “Oxford English Dictionary” [옥스포드 영어사전] (영어). 2016년 11월 27일에 확인함.
같이 보기
외부 링크
- (한국어) 네이버 캐스트 - 4차원 입체도형
- (일본어) 삼각 사각의 비눗방울?
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6차원 다포체 | 6-단체 | 6-교차다포체 • 6-초입방체 | 6-데미큐브 | 122 • 221 | ||||||||
7차원 다포체 | 7-단체 | 7-교차다포체 • 7-초입방체 | 7-데미큐브 | 132 • 231 • 321 | ||||||||
8차원 다포체 | 8-단체 | 8-교차다포체 • 8-초입방체 | 8-데미큐브 | 142 • 241 • 421 | ||||||||
9차원 다포체 | 9-단체 | 9-교차다포체 • 9-초입방체 | 9-데미큐브 | |||||||||
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