사용자:Kobmuiv/에탈 코호몰로지

수학에서, 대수 다형체 또는 스킴의 에탈 코호몰로지 군은 베유 추측을 증명하기 위해 그로텐디크에 의해 도입된 위상 공간의 유한 계수를 갖는 일반적인 코호몰로지 군의 대수적 유사체이다. 에탈 코호몰로지 이론은 대수 기하학에서 베유 코호몰로지 이론의 예인 ℓ-adic 코호몰로지를 구성하는 데 사용될 수 있다. 이것은 베유 추측의 증명 및 리 유형의 유한 군 표현 구성과 같은 많은 응용을 가지고 있다.

역사

에탈 코호몰로지는 Alexander Grothendieck (1960) 에 의해 소개되었다. 장피에르 세르의 몇 가지 제안을 사용하여 베유 추측을 증명하기 위해 베유 코호몰로지 이론을 구성하려는 시도에 동기가 부여되었다. 기초는 그로텐디크이 마이클 아틴과 함께 작업한 직후에 이루어졌으며 (Artin 1962) 및 SGA 4로 출판되었다. 그로텐디크은 베유 추측의 일부를 증명하기 위해 에탈 코호몰로지를 사용했다(버나드 드워크는 이미 1960년에 p-adic 방법을 사용하여 추측의 유리성 부분을 증명했다). 나머지 추측인 리만 가설의 아날로그는 ℓ-adic 코호몰로지를 사용하여 피에르 들리뉴에 의해 증명되었다. (1974)

고전 이론과의 추가적 접점은 브라우어 군의 그로텐디크 버전에서 발견되었다. 이것은 유리 마닌에 의해 디오판틴 기하학에 간단히 적용되었다. 일반 이론의 부담과 성공은 확실히 이 모든 정보를 통합하고 이러한 맥락에서 푸앵카레 쌍대성과 립셰츠 고정점 정리와 같은 일반적인 결과를 증명하는 것이었다.

그로텐디크는 원래 그로텐디크 토포스 및 그로텐디크 전체와 같은 개념을 사용하여 아주 일반적인 조건에서 에탈 코호몰로지를 정의했다. 그러나 이 체계의 대부분은 에탈 이론의 실제 적용에 불필요한 것으로 판명되었고 Deligne (1977)가 에탈 코호몰로지 이론을 단순화하여 설명했다. 그로텐디크의 이러한 전체(ZF 집합론에서 그 존재가 증명될 수 없음)의 사용은 에탈 코호몰로지와 그 적용(예: 페르마의 마지막 정리의 증명)이 ZFC 이외의 공리를 필요로 한다는 일부 추측을 이끌어 냈다. 그러나 실제로 에탈 코호몰로지는 주로 정수에 대한 유한 유형의 구성표에 대한 구성 가능한 층의 경우에 사용되며, 이것은 집합 이론의 깊은 공리를 필요로 하지 않는다. ZFC 공리계뿐만 아니라 훨씬 약한 공리계에서도 정의 할 수 있다.

에탈 코호몰로지는 다른 응용을 빠르게 찾았다. 예를 들어 들리뉴와 George Lusztig는 리 유형의 유한 군 표현을 구성하는 데 사용했다. Deigne–Lusztig 이론 참조.

동기

복소 대수 다형체의 경우, 기본 군, 코호몰로지 군과 같은 대수적 위상 수학의 불변량은 아주 유용하다. 그래서 유한 체와 같은 다른 체에 대한 다형체에 대해서도 이들과 비슷한 호모토피와 호몰로지 이론을 얻고 싶다. (이에 대한 한 가지 이유는 베유이 이러한 코호몰로지 이론을 사용하여 베유 추측을 증명할 수 있다고 제안했기 때문이다.) 연접층의 코호몰로지의 경우, 세르는 대수 다형체의 자리스키 위상을 사용하는 것만으로도 만족스러운 이론을 얻을 수 있음을 보여주었고, 복소 다형체의 경우 이것은 훨씬 더 세밀한 복소 위상으로서 동일한 (연접층) 코호몰로지 군을 제공한다. 그러나 정수 층과 같은 상수층의 경우에는 정의되지 않는다. 자리스키 위상을 사용하여 정의된 코호몰로지 군은 별 의미가 없다. 예를 들어, 베유는 위상 공간의 일반적인 특이 코호몰로지와 비슷한 유용성을 가진 유한 체의 다형체에 대한 코호몰로지 이론을 구상했지만 실제로는 기약 다형체의 모든 상수층에는 자명한 코호몰로지를 가진다(모든 고차 코호몰로지 군은 사라짐).

여기서 자리스키 위상이 부족한 이유는 너무 거칠기 때문이다. 즉, 열린 집합이 너무 적다. 일반적인 대수 다형체에서 더 세밀한 위상 수학을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있는 좋은 방법이 없는 것 같다. 그로텐디크의 핵심 통찰력은 더 일반적인 열린 집합이 대수적 다형체의 부분 집합이어야 하는 이유가 없다는 것을 깨닫는 것이었다. 층의 정의는 공간의 열린 부분 집합의 범주뿐만 아니라 모든 범주에 대해 완벽하게 잘 작동한다. 그는 공간의 열린 부분 집합 범주를 공간에 대한 에탈 사상 범주로 대체하여 에탈 코호몰로지를 정의했다. 대략적으로 말하면 이들은 공간의 유한한 분기되지 않은 덮개의 열린 부분 집합으로 생각할 수 있다. 이것은 (많은 작업 후) 일부 상수 계수에 대해, 특히 n이 기저 체의 표수와 서로소일 때 Z/nZ 계수에 대해 의미있는 코호몰로지 군을 얻을 수 있는 충분히 많은 열린 집합들을 제공하는 것으로 밝혀졌다.

이론의 몇 가지 기본 직관은 다음과 같다.

• 에탈 조건은 대수 기하학에서 참인 경우 음함수 정리를 적용할 수 있는 조건이다(그러나 그렇지 않다. 음함수인 대수 함수는 옛 문헌에서 algebroid라고 한다).
• 차원이 0과 1인 특정한 기본 예시가 있고, 계수들의 상수층이 있는 답을 예측할 수 있는 아벨 다형체의 경우(갈루아 코호몰로지 및 테이트 가군을 통해)가 있다.

정의

임의의 스킴 $X$의 경우 범주 $\mathrm {Et} (X)$는 스킴에서 $X$로 가는 모든 에탈 사상의 범주이다. 그것은 위상 공간의 열린 부분 집합의 범주와 유사하며 그 대상은 비공식적으로 $X$의 "열린 부분 집합"으로 생각할 수 있다. 위상 공간의 두 열린 집합의 교집합은 $X$에 대한 두 개의 에탈 사상의 당김에 해당한다. $\mathrm {Et} (X)$가 "큰" 범주이기 때문에 여기에 사소한 집합론적인 문제가 있다. 해당 대상은 집합을 형성하지 않는다.

위상수학 공간 $X$의 준층은 열린 부분 집합에서 집합으로의 범주에서 반공변 함자이다. 유추에 의해 우리는 $\mathrm {Et} (X)$에서 집합으로의 반공변 함자가 되는 스킴 $X$의 에탈 준층을 정의한다.

위상 공간에 있는 준층 $F$는 추가적으로 국소성과 이어붙이기 성질의 층 조건을 만족하는 경우 층이라고 한다. 유추에 의해, 에탈 준층은 동일한 조건을 충족하는 경우 층이라고 한다(열린 집합의 교집합이 에탈 사상의 당김으로 대체되고 $U$에 대한 에탈 사상 집합은 $U$의 위상 공간이 상의 합집합과 같은 경우 $U$를 덮는다고 한다.). 보다 일반적으로 유사한 방식으로 범주의 그로텐디크 위상에 대한 층을 정의할 수 있다.

스킴에 대한 아벨 군의 층 범주에는 충분한 단사 대상이 있으므로 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자를 정의할 수 있다. 아벨 군의 층 $F$의 에탈 코호몰로지 군 $H^{i}(F)$는 단면

$F\to \Gamma (F)$

의 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의된다. (여기서 $F$의 단면 $\Gamma (F)$의 공간은 $F(X)$). 층의 단면은 $\mathrm {Hom} (\mathbb {Z} ,F)$으로 생각할 수 있다. 여기서 $\mathbb {Z}$는 정수 아벨 군 값을 가지는 층이다. 여기서 유도 함자의 아이디어는 단면의 함자가 완전하지 않기 때문에 완전열을 존중하지 않는다는 것이다. 호몰로지 대수학의 일반 원칙에 따라 (짧은 완전열에서 발생하는 긴 완전열의) 완전성의 정도를 복원하기 위해 수행되어야 하는 '보상'을 나타내는 일련의 함자들 $H^{0},H^{1},\dots$가 있을 것이다. 함자 $H^{0}$는 단면 함자 $\Gamma$와 일치한다.

보다 일반적으로, 스킴의 사상 $f:X\rightarrow Y$는 $X$ 위의 에탈 층에서 $Y$ 위의 에탈 층으로 가는 사상 $f_{*}$를 유도하고, 오른쪽에서 유도 함자는 $q$가 음이 아닌 정수인 경우 $R^{q}f_{*}$로 표시된다. $Y$가 대수적으로 닫힌 체(점)의 스펙트럼인 특수한 경우, $R^{q}f_{*}(F)$는 $H^{q}(F)$와 같다.

$X$가 뇌터 스킴이라고 가정하자. $X$ 위의 아벨 에탈 층 $F$가 $X$의 에탈 덮개로 표현되는 경우 유한 국소 상수라고 한다. $X$가 $F$의 제한이 유한한 국소적 상수인 각각의 부분 스킴들의 유한족에 의해 덮이는 경우 구성 가능이라고 한다. $F(U)$가 $X$의 모든 에탈 덮개 $U$에 대한 꼬임 군인 경우 꼬임 층이라고 한다. 유한 국소 상수 층은 구성 가능하며 구성 가능한 층은 꼬임 층이다. 모든 꼬임 층은 구성 가능한 층의 여과된 귀납적 극한이다.

ℓ-adic 코호몰로지 군

유한체 $\mathbb {F} _{q}$에 대한 대수 기하학에 적용 할 때, 주요 목적은 정수(또는 유리수) 계수를 갖는 특이 코호몰로지 군과 비슷한 개념을 찾는 것이었다. 에탈 코호몰로지는 n이 p와 서로소인 경우 계수 $\mathbb {Z} /nZ$에 대해 잘 작동하지만 꼬임 계수가 아닌 경우에 대해서는 만족스럽지 못한 결과가 나온다. 에탈 코호몰로지로부터 꼬임 없이 코호몰로지 군을 얻으려면 특정 꼬임 계수를 갖는 에탈 코호몰로지 군의 역극한를 취해야 한다. 이것을 ℓ-adic 코호몰로지라고 한다. 여기서 ℓ은 p와 다른 소수를 나타낸다. 스킴 $V$에 대해 코호몰로지 군

$H^{i}(V,\mathbb {Z} /\ell ^{k}\mathbb {Z} )$

을 고려한다. 그리고 ℓ-adic 코호몰로지 군을 그들의 역극한으로 정의한다:

$H^{i}(V,\mathbb {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbb {Z} /\ell ^{k}\mathbb {Z} )$

여기서 $\mathbb {Z} _{l}$은 ℓ-adic 정수를 나타내지만 정의는 유한 계수 $\mathbb {Z} /l^{k}\mathbb {Z}$를 갖는 '상수' 층 구조를 통해 이루어진다. (여기에 악명 높은 함정이 있다: 코호몰로지는 역극한을 취하는 것으로 통하지 않으며, 역극한으로 정의되는 ℓ-adic 코호몰로지 군은 에탈 층 $\mathbb {Z} _{l}$에서 계수가 있는 코호몰로지가 아니다. 후자의 코호몰로지 군은 존재하지만 "잘못된" 코호몰로지 군을 제공한다. )

보다 일반적으로, $F$가 에탈 층 $F_{i}$의 역이면, $F$의 코호몰로지는 층 $F_{i}$의 코호몰로지의 역 극한으로 정의된다.

$H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),$

그리고 자연 사상

$H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),$

이 있지만, 일반적으로 동형사상이 아니다. ℓ-adic 층은, 모든 정수 $i>0$에 대해 $F_{i}$가 $\mathbb {Z} /l^{i}\mathbb {Z}$에 대한 가군이고 $F_{i+1}$에서 $F_{i}$로 가는 사상은 단지 $\mathbb {Z} /l^{k}\mathbb {Z}$를 법으로 축소한 것인 에탈 층 $F_{i}$의 역의 특별한 종류이다. 

$V$가 종수 $g$인 비특이 대수 곡선일 때, $H^{1}$은 $V$의 야코비 다형체의 테이트 가군에 쌍대인 랭크 $2g$인 자유 $\mathbb {Z} _{l}$-가군이다. 종수 $g$의 리만 곡면의 첫 번째 베티 수는 $2g$이므로 이는 복소 대수 곡선에 대한 일반적인 $\mathbb {Z} _{l}$ 계수 특이 코호몰로지와 동형이다. 또한 조건 $\ell \neq p$이 필요한 한 가지 이유를 보여준다: $\ell =p$인 경우 테이트 가군의 랭크는 최대 $g$이다.

꼬임 부분군이 발생할 수 있으며 이는 마이클 아틴과 데이비드 멈퍼드가 기하학적 질문에 적용했다. ℓ-adic 코호몰로지 군에서 꼬임 부분군을 제거하고 표수 0의 체에 대한 벡터 공간인 코호몰로지 군을 얻으려면 다음을 정의한다.

$H^{i}(V,\mathbb {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbb {Z} _{\ell })\otimes \mathbb {Q} _{\ell }.$

이 표기법은 오해의 소지가 있다. 왼쪽의 기호 $\mathbb {Q} _{\ell }$은 에탈 층도 ℓ-adic 층도 아니다. 상수 에탈 층 $\mathbb {Q} _{\ell }$의 계수를 갖는 에탈 코호몰로지가 존재하지만 이는$H^{i}(V,\mathbb {Z} _{\ell })\otimes \mathbb {Q} _{\ell }$와는 상당히 다르다. 이 두 군을 혼동하는 것은 일반적인 실수이다.

성질

일반적으로 다형체의 ℓ-adic 코호몰로지 군은 정수(또는 유리수)가 아닌 ℓ-adic 정수에 대한 가군이라는 점을 제외하면 복소 다형체의 특이 코호몰로지 군과 유사한 성질을 갖는 경향이 있다. 이들은 비특이 사영 다형체에 대한 푸앵카레 쌍대성의 사상를 만족하며, 복소 다형체의 "reduction mod p"의 ℓ-adic 코호몰로지 군은 특이 코호몰로지 군과 동일한 랭크를 갖는 경향이 있다. 퀴네트 공식도 성립한다.

예를 들어, 복소 타원 곡선의 첫 번째 코호몰로지 군은 정수에 대해 랭크 2인 자유 가군인 반면, 유한 체에 대한 타원 곡선의 첫 번째 ℓ-adic 코호몰로지 군은 ℓ-adic 정수에 대해 랭크 2인 자유 가군이다. ℓ은 해당 체의 표수가 아니며 테이트 가군에 대해 쌍대이다.

ℓ-adic 코호몰로지 군이 특이 코호몰로지 군보다 더 좋은 한 가지 점이 있다. ℓ-adic 코호몰로지 군은 갈루아 군에 의해 작용하는 경향이 있다. 예를 들어, 복소 다형체가 유리수에 대해 정의되는 경우, 그것의 ℓ-adic 코호몰로지 군은 유리수의 절대 갈루아 군에 의해 작용한다: 그들은 갈루아 표현을 제공한다.

항등식과 복소 켤레 이외의 유리수의 갈루아 군의 원소는 일반적으로 유리수에 대해 정의된 복소 다형체에 연속적으로 작용하지 않으므로 특이 코호몰로지 군에 작용하지 않는다. 갈루아 표현의 이러한 현상은 그로텐디크가 갈루아 군을 일종의 기본군으로 볼 수 있음을 보여주었기 때문에 위상 공간의 기본군이 특이 코호몰로지 군에 작용한다는 사실과 관련이 있다. (또한 그로텐디크 갈루아 이론 참조. )

대수 곡선에 대한 에탈 코호몰로지 군의 계산

다형체 에탈 코호몰로지 군을 계산하는 주요 초기 단계는 대수적으로 닫힌 체 k에서 매끄러운 완비 연결 대수 곡선 $X$에 대해 계산하는 것이다. 임의의 다형체의 에탈 코호몰로지 군은 올화의 스펙트럼 열과 같은 일반적인 대수적 위상 수학의 개념과 비슷한 방식으로 제어할 수 있다. 곡선의 경우 계산은 다음과 같이 여러 단계를 거친다 (Artin 1962). $\mathbb {G} _{m}$이 영이 아닌 함수의 층이라 하자.

H¹(X, G_m)의 계산

에탈 층의 완전열

$1\to \mathbb {G} _{m}\to j_{*}\mathbb {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbb {Z} \to 1$

은 코호몰로지 군의 긴 완전열을 제공한다.

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbb {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbb {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbb {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbb {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}$

여기서 $j$는 일반 점의 단사이고, $i_{x}$는 닫힌 점 $x$의 단사, $\mathbb {G} _{m,K}$는 ${\text{Spec}}K$ (X의 일반 점)에 대한 층 $\mathbb {G} _{m}$, $\mathbb {Z} _{x}$는 $X$의 각 닫힌 점에서 $\mathbb {Z}$의 복사본이다. 군 $H^{i}(i_{x^{*}}\mathbb {Z} )$은 $i>0$이면 사라진다($i_{x^{*}}\mathbb {Z}$가 마천루 층이기 때문에) $i=0$인 경우 $\mathbb {Z}$이므로 합은 $X$의 약수 군이다. 또한, 첫 번째 코호몰로지 군 $H^{1}(X,j_{*}\mathbb {G} _{m,K})$는 갈루아 코호몰로지 군 $H^{1}(K,K^{*})$와 동형이다. 이는 힐베르트 정리 90에 의해 사라진다. 따라서 에탈 코호몰로지 군의 긴 완전열은 완전열

$K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to 1$

을 제공한다. 여기서 $\operatorname {Div} (X)$는 $X$의 약수 군이고 $K$는 함수체이다. 특히 $H^{1}(X,\mathbb {G} _{m})$은 피카르 군 ${\text{Pic}}(X)$이다(그리고 $\mathbb {G} _{m}$의 첫 번째 코호몰로지 군은 에탈 및 자리스키 위상에 대해 동일하다). 이 단계는 곡선뿐만 아니라 모든 차원의 다형체 $X$(점이 여차원 1인 부분 다형체로 대체됨)에 적용된다.

Hⁱ(X, G_m)의 계산

위의 동일한 긴 완전열은 $i\geq 2$이면 코호몰로지 군 $H^{i}(X,\mathbb {G} _{m})$는 갈루아 코호몰로지 군 $H^{i}(K,K^{*})$와 동형인 $H^{i}(X,j_{*}\mathbb {G} _{m,K})$와 동형이다. Tsen의 정리는 대수적으로 닫힌 체에 걸쳐 하나의 변수에서 함수 체 $K$의 브라우어 군이 사라진다는 것을 의미한다. 이것은 차례로 모든 갈루아 코호몰로지 군 $H^{i}(K,K^{*})$는$i\geq 1$에 대해 사라짐을 뜻한다. 따라서 모든 코호몰로지 군 $H^{i}(X,\mathbb {G} _{m})$는 $i\geq 2$인 경우 사라진다.

Hⁱ(X, μ_n)의 계산

$\mu _{n}$이 $n$ 번째 단위 근의 층이고 $n$과 체 $k$의 표수가 서로소인 경우:

$H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}$

여기서 ${\text{Pic}}_{n}(X)$은 ${\text{Pic}}(X)$의 $n$-꼬임 점들의 군이다. 이것은 에탈 층의 쿠머 완전열

$$1\to \mu _{n}\to \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{n}} \mathbb {G} _{m}\to 1.$$

의 긴 완전열을 사용하는 이전 결과에서 따른다.

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbb {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbb {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbb {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbb {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbb {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbb {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}$

알려진 값을 삽입

$H^{i}(X,\mathbb {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}$

특히 다음 완전열을 얻는다.

$1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.$

$n$을 p로 나눌 수 있는 경우 이 인수는 단위의 p번째 거듭제곱근이 표수 p의 체에서 이상하게 동작하기 때문에 무너진다. 자리스키 위상에서 쿠머 열은 오른쪽에서 완전하지 않다. 사라지지 않는 함수는 일반적으로 자리스키 위상에 대해 국소적으로 $n$ 번째 근을 가지지 않기 때문이다. 자리스키 위상은 필수적이다.

Hⁱ(X, Z/nZ)의 계산 

단위의 $n$ 번째 거듭제곱 원시근을 고정함으로써 우리는 군 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$를 $n$ 번째 단위근의 군 $\mu _{n}$으로 식별할 수 있다. 에탈 군 $H^{i}(X,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$는 환 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 위의 무료 가군이며 그 랭크는 다음과 같이 지정된다.

$\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}$

여기서 $g$는 곡선 $X$의 종수이다. 이것은 곡선의 피카르 군이 $g$ 차원 아벨 다형체 야코비 다형체의 점이라는 사실을 사용하여 이전 결과에서 이어진다. $n$이 특성에 대해 서로소인 경우 $n$을 아벨 대수적으로 닫힌 체에 대한 다형체 차원 $g$는 $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}$와 동형인 군을 형성한다. 에탈 군 $H^{i}(X,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$에 대한 이러한 값은 $X$가 복소 곡선일 때 해당 특이 코호몰로지 군과 동일하다.

Hⁱ(X, Z/pZ)의 계산

아틴-Schreier 열을 사용하여 유사한 방식으로 쿠머 열 대신 표수로 나눌 수 있는 상수 차수 계수를 갖는 에탈 코호몰로지 군을 계산할 수 있다.

$0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ \xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x} \ K\to 0$

($\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$의 계수에 대해 비트 벡터를 포함 하는 유사한 열이 있다.) 결과 코호몰로지 군은 일반적으로 표수 0에서 해당 군보다 랭크가 낮다.

에탈 코호몰로지 군의 예

• $X$가 절대 갈루아 군 $G$를 포함하는 체 $K$의 스펙트럼인 경우 $X$에 대한 에탈 층은 (profinite) 군 $G$에 의해 작용하는 연속 집합(또는 아벨 군)에 해당하고 층의 에탈 코호몰로지는 $G$의 군 코호몰로지, 즉 $K$의 갈루아 코호몰로지와 동일하다.
• $X$가 복소수인 경우 유한 계수를 갖는 에탈 코호몰로지는 유한 계수를 갖는 특이 코호몰로지와 동형이다.(이것은 정수 계수에는 적용되지 않는다.) 보다 일반적으로 구성 가능한 층에서 계수와의 코호몰로지는 동일하다.
• $F$가 연접층(또는 $\mathbb {G} _{m}$)이면 $F$의 에탈 코호몰로지는 자리스키 위상으로 계산된 세르 연접층 코호몰로지와 동일하다(그리고 $X$가 복소 다형체인 경우 이것은 일반적인 복소 위상).
• 아벨 다형체와 곡선의 경우 ℓ-adic 코호몰로지의 기본적인 설명이 있다. 아벨 다형체의 경우 첫 번째 ℓ-adic 코호몰로지 군은 테이트 가군의 쌍대이며 더 높은 코호몰로지 군은 외적의 거듭제곱에 의해 제공된다. 곡선의 경우 첫 번째 코호몰로지 군은 야코비안의 첫 번째 코호몰로지 군이다. 이것은 베유가 이 두 가지 경우에서 베유 추측에 대한 더 기본적인 증명을 제공할 수 있었던 이유를 설명한다.

콤팩트 지지를 제공하는 푸앵카레 쌍대성과 코호몰로지

다형체 $X$를 콤팩트 지지하는 에탈 코호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.

$H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)$

여기서 $j$는 적절한 다형체 $Y$에 $X$를 열린 몰입한 것이고 $j_{!}$는 0에 의한 에탈 층 $F$에서 $Y$로의 확장이다. 이것은 몰입 $j$와 무관하다. $X$의 차원이 최대 n이고 $F$가 꼬임 층인 경우 이러한 콤팩트 지지 코호몰로지 군 $H_{c}^{q}(X,F)$는 $q>2n$이면 사라지고, 추가로 $X$가 분리 닫힌 체에 대해 유한형 아핀인 경우 코호몰로지 군 $H^{q}(X,F)$는 $q>n$에 대해 0이다(마지막 진술은 SGA 4, XIV, Cor.3.2 참조).

보다 일반적으로 $f$가 $X$에서 $S$로( $X$와 $S$는 뇌터) 유한 유형의 분리된 사상이라면 콤팩트 지지 $R^{q}f_{!}$에 의해 임의의 꼬임 층 $F$에 대해 정의된다

$R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)$

여기서 $j$는 $S$로 가는 적절한 사상 $g$($f=gj$)가 있는 $X$를 스킴 $Y$로 보내는 임의의 열린 몰입이다. 이전과 마찬가지로 정의는 $j$와 $Y$의 선택에 의존하지 않는다. 콤팩트 지지가 있는 코호몰로지는 $S$가 점인 특수한 경우이다. f가 유한 유형의 분리된 사상이라면 $R^{q}f_{!}$ $X$의 구성가능한 층을 $S$의 구성 가능한 층으로 가져온다. 또한 f 의 올이 최대 $n$ 차원을 가지면 $R^{q}f_{!}$는 q > 2n 에대 해 꼬임 층에서 사라진다. $X$가 복소 다형체라면 $R^{q}f_{!}$는 꼬임 층에 대한 콤팩트 지지(복소 위상의 경우)가 있는 일반적인 더 높은 직상과 동일하다.

$X$가 매끄러운 $N$ 차원 대수 다형체이고 $n$이 표수에 대해 서로소인 경우 대각합 사상이 있다.

$\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

값이 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$인 쌍선형 형식 ${\text{Tr}}(a\cup b)$는 각 군을 식별한다.

$H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})$

그리고

$H^{2N-i}(X,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

다른 것의 쌍대로. 이것은 에탈 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성의 유사체이다.

곡선에 대한 응용

여기서는 대수 곡선의 국소 제타 함수에 적용하는 것을 다룬다

정리. $X$가 유한체 $\mathbb {F} _{p}$에 대해 정의된 종수 $g$의 곡선이라 하자. 그러면 $n\geq 1$인 경우

$\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).$

여기서 $\alpha _{i}$는 $|\alpha _{i}|={\sqrt {p}}$을 만족하는 특정 대수적 수이다.

이것은 $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{p^{n}})$가 $p^{n}+1$개의 점을 가진 종수 0 곡선이라는 것과 일치한다. 또한 곡선의 점 수가 사영 직선의 점의 수에 다소 가깝다는 것을 보여준다($2gp^{n/2}$이내). 특히 타원 곡선에 대한 하세의 정리를 일반화한다.

증명 아이디어

립셰츠 고정점 정리에 따르면, 모든 사상 f : X → X 의 고정 소수점 수 f : X → X는 합

$\#X\left(\mathbb {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},$

과 같다. 이 수식은 일반적인 위상 다형체와 위상 공간에 유효하지만 대부분의 대수적 위상수학에는 잘못되었다. 그러나 이 공식은 에탈 코호몰로지에 적용된다 (증명하기가 그렇게 간단하지는 않다).

$\mathbb {F} _{p^{n}}$대해 정의된 $X$의 점은 Fⁿ에 의해 고정된 점이며, 여기서 F는 표수 p에서 프로베니우스 자기동형사상이다.

차원 0, 1, 2에서 $X$의 에탈 코호몰로지 베티 수는 각각 1, $2g$ 및 1이다.

이들 모두에 따르면,

$\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).$

이것은 정리의 일반적인 사상를 제공한다.

$\alpha _{i}$의 절대값에 대한 주장은 베유 추측의 1차원 리만 가설이다.

전체 아이디어는 모티브의 틀에 들어맞다: 공식적으로 [ X ] = [점] + [선] + [1-part] 및 [1-part] ${\sqrt {p}}$ 점와 같은 것이 있다.

같이보기

• 국소 비순환 사상
• 절대 순도의 정리

참조

• , Harvard University, Dept. of Mathematics 
• (프랑스어), Springer-Verlag [Michael Artin Michael Artin] 
• (프랑스어), Springer-Verlag [Michael Artin Michael Artin] 
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• Danilov, V.I. (2001). “Étale cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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• (프랑스어), Springer-Verlag  Chapter1: doi 10.1007/BFb0091518
• I.V. Dolgachev (2001). “ℓ-adic cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• , Springer-Verlag, arXiv:Kiehl Reinhardt Kiehl  
• , World Scientific Publishing 
• , Cambridge University Press 
• , Princeton University Press 
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• Archibald와 Savitt 에탈 코호몰로지
• Dolgachev, I.V. (2001). “L-adic-cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Milne, James S. (1998), 《Lectures on Étale Cohomology》 
• 물리학자를 위한 랭글랜즈 프로그램

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