퀴네트 정리

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대수적 위상수학에서, 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간호몰로지에 대한 정리다.

정의[편집]

체의 계수를 가진 호몰로지[편집]

XY위상공간이라고 하고, H_\bullet(-;k) K의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;K)\otimes H_j(Y;K)\cong H_k(X\times Y;K)

이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

b_X(t)=\sum_it^i\dim H_i(X;\mathbb Q)

베티 수생성함수라고 하자. 그렇다면

b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)

이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 H^\bullet이라고 적으면, 다음이 성립한다.

H^\bullet(X;K)\otimes H^\bullet(Y;K)\cong H^\bullet(X\times Y;K)

환의 계수를 가진 호몰로지[편집]

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 R인 경우, 퀴네트 정리는 다음과 같다. 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

0\to\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;R)\otimes H_j(Y;R)\to H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(H_i(X;R),H_j(Y;R))\to0

여기서 \operatorname{Tor}Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

역사[편집]

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Künneth, H. (1923년 3월). Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit. 《Mathematische Annalen》 90: 65–85. doi:10.1007/BF01456242. JFM 49.0408.01. ISSN 0025-5831.
  2. (독일어) Künneth, H. (1924년 3월). Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten. 《Mathematische Annalen》 91: 125–134. doi:10.1007/BF01498384. JFM 50.0658.03. ISSN 0025-5831.

바깥 고리[편집]