소 아이디얼

환론에서, 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

정의

환 $R$의 양쪽 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

• 임의의 두 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Definition 10.1}
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $(r)(s)\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rRs\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• 임의의 왼쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$라면 ${\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이거나 ${\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {p}}$이다.^{:155, Proposition 10.2}
• $R\setminus {\mathfrak {p}}$는 m계를 이룬다.^{:156, Corollary 10.4}
• 몫환 $R/{\mathfrak {a}}$가 소환이다.^:158

여기서 환 $R$의 부분 집합 $S\subseteq R$가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m系, 영어: m-system)라고 한다.

• 임의의 $s,t\in S$에 대하여, $srt\in S$인 $r\in R$가 존재한다.

물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

완전 소 아이디얼

환 $R$의 양쪽 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.

• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {p}}$라면 $r\in {\mathfrak {p}}$이거나 $s\in {\mathfrak {p}}$이다.
• 몫환 $R/{\mathfrak {p}}$는 영역이다.^:194
• $R\setminus {\mathfrak {p}}$는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

연관 소 아이디얼

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 (영가군이 아닌) 부분 가군 $_{R}N\subseteq {}_{R}M$의 소멸자가 $M$의 소멸자와 같다면, $M$을 소가군(영어: prime module)이라고 한다.

$\operatorname {Ann} _{R}N=\operatorname {Ann} _{R}M\qquad \forall N\in \operatorname {Sub} (M)\setminus \{0\}$

소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.^:85

$R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 $_{R}M$의 부분 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 $R$의 소 아이디얼이다.

소원

소환 $R$의 원소 $p\in R$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 소원(素元, 영어: prime element)이라고 한다.^:§4.2

• $pR=Rp$
• $p\neq 0$
• $pR$는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 모든 $t\in R$에 대하여 $p\mid rts$라면, $p\mid r$이거나 $p\mid s$이다. (여기서 $p\mid a$는 $a\in Rp=pR$를 뜻한다.)

마찬가지로, 소환 $R$의 원소 $p\in R$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 완전 소원(完全素元, 영어: completely prime element)이라고 한다.^:§4.2

• $pR=Rp$
• $p\neq 0$
• $pR$는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $p\mid rs$라면 $p\mid r$이거나 $p\mid s$이다.

물론 $pR=Rp$인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.

(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,^{:284, Proposition 8.11} 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.^:284

$3\mid 9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {5}})$

$3\nmid 2+{\sqrt {-5}}$

$3\nmid 2-{\sqrt {-5}}$

성질

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
• 소환이다.

임의의 환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
• 영역이다.

(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)

자명환이 아닌 환은 초른의 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 $R$의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, ${\mathfrak {p}}$에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

함자성

 이 부분의 본문은 환의 스펙트럼입니다.

두 환 $R$, $S$ 사이의 환 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$의 완전 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\vartriangleright S$에 대하여, 그 원상 $f^{-1}({\mathfrak {p}})$는 $R$의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, $R$의 완전 소 아이디얼들의 집합을 $\operatorname {compSpec} (R)$라고 한다면, 이는 함자

$\operatorname {compSpec} \colon \operatorname {Ring} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

를 정의한다.

가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 $R$의 소 아이디얼의 집합 $\operatorname {Spec} (R)$은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$로 가는 함자

$\operatorname {Spec} \colon \operatorname {Ring} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sch}$

를 정의한다.

소 아이디얼 원리

환 $R$의 양쪽 아이디얼들의 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Sub} (R_{R})$가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, 양쪽 오카 족(-[岡]族, 영어: two-sided Oka family)이라고 한다.^{:Definition 3.1:Definition 2.1}

• $R\in {\mathcal {F}}$
• 임의의 $r\in R$ 및 양쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {a}}_{R}$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {a}}+RrR\in {\mathcal {F}}$이며 $(r)^{-1}{\mathfrak {a}}=\{s\in R\colon rRs\subseteq {\mathfrak {a}}\}\in {\mathcal {F}}$이며 ${\mathfrak {a}}(r)^{-1}=\{s\in R\colon sRr\subseteq {\mathfrak {a}}\}$라면, ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {F}}$이다.

소 아이디얼 원리(영어: prime ideal principle)에 따르면,^{:Theorem 3.4:2.4} ${\mathcal {F}}$가 환 $R$의 양쪽 오카 족이라고 할 때, ${\mathcal {F}}$의 여집합 $\operatorname {Sub} (_{R}R_{R})\setminus {\mathcal {F}}$의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 $\operatorname {Sub} (_{R}R_{R})$는 $R$의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)

특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.

• 환 $R$의 m계 $S\subseteq R$에 대하여, $S$와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon {\mathfrak {a}}\cap S\neq \varnothing \}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.1}
  • 가환환 $R$의 임의의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, $S$와 교차하는 아이디얼들의 족 $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon {\mathfrak {a}}\cap S\neq \varnothing \}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.1}
• 환 $R$의 오른쪽 가군 $M_{R}$에 대하여, $\{{\mathfrak {a}}\vartriangleleft R\colon N{\mathfrak {a}}\neq 0\;\forall N_{R}\subseteq M_{R},\;N_{R}\neq 0\}$는 오카 족이다.^{:Proposition 3.5}
  • 가환환 $R$의 가군 $M$에 대하여, $\operatorname {Ideal} (R)\setminus \{\operatorname {Ann} _{R}(m)\colon m\in M\setminus \{0\}\}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.5} (여기서 $\operatorname {Ann} (-)$은 소멸자를 뜻한다.)
• 환 $R$의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 만약 모든 $s\in S$에 대하여 $sR=Rs$라면, $\{Rs=sR\colon s\in S\}$는 오카 족이다.^{:Proposition 4.1}
  • 가환환 $R$의 임의의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, $S$의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 족 $\{(s)\colon s\in S\}$은 오카 족이다.^{:Proposition 3.17} 특히, 모든 주 아이디얼들의 족 $\{(r)\colon r\in R\}$은 오카 족이다.
• 가환환 $R$의 유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다.^{:Proposition 3.16} (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.^:§2)

소 아이디얼 회피

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 $R$
• $R$의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 $\{{\mathfrak {a}}_{1},\dots ,{\mathfrak {a}}_{n}\}$. 또한, $n\geq 3$에 대하여 ${\mathfrak {a}}_{n}$은 완전 소 아이디얼이다.
• $R$의 부분 유사환 (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) $S\subseteq R$. 또한, 모든 $1\leq i\leq n$에 대하여 $S\not \subseteq {\mathfrak {a}}_{i}$이다.

소 아이디얼 회피 정리(素ideal回避定理, 영어: prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $S\not \subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}$

즉, $S$가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.

증명:

$n$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. $n=1$인 경우는 자명하다. $n\geq 2$일 때, 귀납 가정에 의하여 각 $1\leq i\leq n$에 대하여

$s_{i}\in S\setminus \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {a}}_{j}$

를 고를 수 있다. 그렇다면

$S\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\ni s={\begin{cases}s_{i}&\exists 1\leq i\leq n\colon s_{i}\not \in {\mathfrak {a}}_{i}\\s_{1}\cdots s_{n-1}+s_{n}&\forall 1\leq i\leq n\colon s_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}\end{cases}}$

이다.

가환환의 소 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 $R$의 진 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {p}}$는 소 아이디얼이다.
• ${\mathfrak {p}}$는 완전 소 아이디얼이다.
• $R/{\mathfrak {p}}$가 정역이다.

가환환 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$의 여집합 $R\setminus {\mathfrak {p}}$가 모노이드를 이루므로, $R\setminus {\mathfrak {p}}$에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 $(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R$는 국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, $f^{-1}({\mathfrak {p}})$는 $R$의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.

• 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
• 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

높이

 이 부분의 본문은 아이디얼의 높이입니다.

가환환 $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$의 높이 $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.

$\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=\max\{n\colon {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}\}$

특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, 영어: minimal prime ideal)이라고 한다.

예를 들어,

• 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.
• 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.
• 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)

예

정수환 $\mathbb {Z}$의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 $p$는 $p$의 배수들로 구성된 아이디얼 $p\mathbb {Z} =\{np\colon n\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {Z}$와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 $p$가 두 정수의 곱 $ab$를 나누면 $p$는 $a$나 $b$ 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, ${\mathfrak {p}}\neq R$이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

유한 아벨 군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$를 정수환 위의 가군으로 간주하였을 때, $G$의 연관 소 아이디얼들은 $G$의 크기의 소인수(로 생성되는 주 아이디얼)이다.

역사

역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.

참고 문헌

• Wiegand, Roger; Wiegand, Sylvia (2010). 〈Prime ideals in Noetherian rings: a survey〉 (PDF). Albu, Toma; Birkenmeier, Gary F.; Erdoğan, Ali; Tercan, Adnan. 《Ring and module theory》. Trends in Mathematics (영어). Springer-Verlag. 175–193쪽. doi:10.1007/978-3-0346-0007-1_13. ISBN 978-3-0346-0006-4. 

바깥 고리

• Zhevlakov, K.A. (2001). “Prime ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Prime element”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Prime ideal theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Prime element”. 《nLab》 (영어). 
• “Prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime element”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime avoidance lemma”. 《Commalg》 (영어). 
• “Prime ideal need not contain any prime element”. 《Commalg》 (영어). 
• “Primeness is contraction-closed”. 《Commalg》 (영어). 
• “Principal prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Minimal prime ideal”. 《Commalg》 (영어). 

같이 보기

• 환의 스펙트럼