특이 기수 가설: 두 판 사이의 차이
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* {{책 인용|장=The Singular Cardinal Hypothesis Revisited|이름=Moti|성=Gitik|공저자=Menachem Magidor|doi=10.1007/978-1-4613-9754-0_16|제목=Set Theory of the Continuum|편집자=Haim Judah, Winfried Just, Hugh Woodin |총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=26 |isbn= 978-1-4613-9756-4|출판사=Springer|언어고리=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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2015년 1월 6일 (화) 04:29 판
집합론에서, 특이 기수 가설(特異基數假說, 영어: singular cardinals hypothesis, 약자 SCH)은 기수의 거듭제곱이 연속체 함수 로부터 완전히 결정된다는 명제이다. 통상적인 집합론 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)와 독립적이다.
정의
특이 기수 가설 에 따르면, 모든 무한 기수 에 대하여 다음이 성립한다.
성질
무한 정칙 기수의 경우 특이 기수 가설은 자명하게 성립한다. 또한, 적어도 하나 이상의 강콤팩트 기수보다 더 큰 특이 기수에 대하여, 특이 기수 가설이 성립한다. 이는 로버트 솔로베이(영어: Robert Solovay)가 증명하였다. 즉, 특이 기수 가설은 "대부분의" 기수에 대하여 참이다.
만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면, 특이 기수 가설은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다.
만약 미첼 순서(영어: Mitchell order)가 인 가측 기수 가 존재한다면, 특이 기수 가설의 부정 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다. (이는 초콤팩트 기수의 존재보다 약한 가정이다.)
특이 기수 가설을 함의하는 명제
일반화 연속체 가설 은 특이 기수 가설을 함의한다. 일반화 연속체 가설을 가정하면 모든 무한 기수에 대하여
가 성립한다.
고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom) 또한 특이 기수 가설을 함의한다. 고유 강제법 공리는 를 함의하므로, 연속체 가설과 모순된다.
참고 문헌
- Gitik, Moti; Menachem Magidor. 〈The Singular Cardinal Hypothesis Revisited〉. Haim Judah, Winfried Just, Hugh Woodin. 《Set Theory of the Continuum》. Mathematical Sciences Research Institute Publications 26. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-9754-0_16. ISBN 978-1-4613-9756-4.
바깥 고리
- Cumming, James (1998년 9월). “Singular cardinal problems” (PDF). Fifth International Workshop in Set Theory, Luminy, France, September 1998.
- “Why should I believe the Singular Cardinal Hypothesis?”.
- Caicedo, Andrés E. (2009년 2월 11일). “580 - Cardinal Arithmetic (4)”.