초실수

표준 부분 함수는 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 대응시킨다.

비표준해석학에서, 초실수(영어: hyperreal)는 무한대와 무한소를 포함하지만 실수에 대한 모든 1차 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다.

정의

실수 $\mathbb {R}$의 수열 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$의 가환환을 생각하자. 이는 크룰 정리에 따라 극대 아이디얼 ${\mathfrak {u}}\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$을 가진다. (크룰 정리는 선택 공리와 동치이다.) 그 몫환 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathfrak {u}}={}^{*}\mathbb {R}$ 는 체를 이루는데, 이를 초실수체라고 하고, 그 원소를 초실수라고 한다. 각 실수를 상수열의 동치류로 대응시키면, 실수체는 다음과 같이 초실수체로 표준적으로 매장된다.

$r\in \mathbb {R} \mapsto [(r,r,r,\dots )]\in {}^{*}\mathbb {R}$

이러한 극대 아이디얼 ${\mathfrak {u}}$는 자유 초필터 ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$에 의하여 주어진다. 즉,

$(s_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in {\mathfrak {u}}\iff \{i\in \mathbb {N} \colon s_{i}=0\}\in {\mathcal {U}}$

이다. 이 경우, ${}^{*}\mathbb {R}$ 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의할 수 있다.

$[s]\leq [t]\iff \{i\in \mathbb {N} \colon s_{i}\leq t_{i}\}\in {\mathcal {U}}$

이는 완전 순서를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 따라서 초실수체는 실수체를 확대하는 순서체이다.

초실수체는 선택하는 극대 아이디얼(또는 초필터)에 따라 달라진다. 만약 연속체 가설을 가정한다면, 모든 초실수체는 순서체로서 서로 동형임을 보일 수 있다. 반면, 연속체 가설을 부정한다면 서로 동형이지 않는 초실수체가 존재한다.

실수 집합의 확대

실수 집합 $S\subset \mathbb {R}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$의 초실수 확대(영어: hyperreal extension) $^{*}S$는 다음과 같다.

$\{[s]\in ^{*}\mathbb {R} \colon \{i\in \mathbb {N} \colon s_{i}\in S\}\in {\mathcal {U}}$

자연수 집합 $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$의 초실수 확대를 초자연수(영어: hypernatural)라고 한다. 정수 집합 $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$의 초실수 확대를 초정수(영어: hyperinteger)라고 한다. 초정수의 집합은 초실수체의 부분환을 이룬다. 유한 초정수는 정수이며, 모든 비표준 초정수는 무한 초실수이다.

성질

$2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |\leq |^{*}\mathbb {R} |\leq |\mathbb {R} |^{|\mathbb {N} }=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}$

이므로, 초실수 집합의 크기는 실수 집합의 크기와 같다.

$|{}^{*}\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |$

전달 원리에 따라, 1차 논리로 기술할 수 있는 실수의 성질은 초실수에 대해서도 성립한다.

초실수체는 실수체와 달리 아르키메데스 체가 아니다. 이는 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이다.

전달 원리

$\phi$가 기호 $+,-,\times ,{}^{-1},\leq$ 및 $\forall x_{i}\in \mathbb {R}$, $\exists x_{i}\in \mathbb {R}$를 사용하는 1차 논리 명제라고 하자. 그렇다면, 이 명제에서 모든 변수를 실수 대신 초실수로 바꾼 1차 논리 명제 $\phi ^{*}$를 정의할 수 있다. 그렇다면 다음이 성립한다.

• $\phi$와 $\phi ^{*}$는 서로 동치이다. 즉, $\phi$가 참이라면 $\phi ^{*}$ 역시 참이며, 반면 $\phi$가 거짓이라면 $\phi ^{*}$ 역시 거짓이다.

이를 전달 원리(영어: transfer principle)라고 한다.

전달 원리는 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,

$\exists \omega \forall n\in \mathbb {N} \colon \overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}\leq \omega$

와 같은 명제는 $\mathbb {R}$에서 거짓이지만 $\mathbb {R} ^{*}$에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.

분류

초실수 가운데 실수가 아닌 것을 비표준 초실수(영어: nonstandard hyperreal)라고 한다.

무한대 초실수(영어: infinite hyperreal)는 다음을 만족시키는 초실수 $r^{*}$이다.

$\forall r\in \mathbb {R} \colon r<|r^{*}|$

무한소 초실수(영어: infinitesimal hyperreal)는 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 다음을 만족시키는, 0이 아닌 실수 $r^{*}$이다.

$\forall r\in \mathbb {R} \colon r<1/|r^{*}|$

무한대가 아닌 초실수를 유한 초실수(영어: finite hyperreal)라고 한다. 모든 무한소 초실수는 유한 초실수이다.

모든 유한 초실수 $r^{*}\in \mathbb {R}$에 대하여, $r^{*}-r$가 무한소인 실수 $r$가 유일하게 존재한다. 이를 $r$의 표준 부분이라고 하며, $\operatorname {st} (r^{*})$라고 쓴다. 즉, 모든 유한 초실수 $r^{*}$는 실수 성분 $r$와 무한소 성분 $\epsilon$의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

$r^{*}=r+\epsilon \qquad (r\in \mathbb {R} ,\operatorname {st} (\epsilon )=0)$

마찬가지로, 모든 무한 초실수 $r^{*}$는 무한소 초실수의 역이다.

$r^{*}=1/\epsilon \qquad (\operatorname {st} (\epsilon )=0)$

예

실수 $r$는 상수열의 동치류 $[(r,r,r,\dots )]$ 로 대응된다.

초실수

$\omega =[(0,1,2,3,4,\dots )]$

의 동치류는 무한대 초자연수이다. 그 역수

$\omega ^{-1}=[(1,1,1/2,1/3,1/4,\dots )]$

는 무한소 초실수이다.

실해석학의 구현

함수의 연속

$f$가 표준 함수이고 $x$가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

• $f$가 $x$에서 연속이다.
• $f$의 정의역 내에 있는 모든 $x'\approx x$에 대하여, $f(x')\approx f(x)$.

함수의 미분

$f$가 표준 함수이고 $x$가 표준 실수 위의 한 점일 때 다음은 동치이다.

• $f$가 $x$에서 미분 가능하고 $f'(x)=t$이다.
• 모든 무한소 $h$에 대하여, $t=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

예를 들어, $f$가 표준 실수에서의 함수이고 $f(x)=x^{2}$라고 정의된다고 하자. 임의의 무한소를 $dx$라고 하면,

$f'(x)$	$=\operatorname {st} {\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}$
	$=\operatorname {st} {\frac {(x^{2}+2xdx+dx^{2})-x^{2}}{dx}}$
	$=\operatorname {st} (2x+dx)$
	$=2x.$

함수의 적분

초실수 체계에서 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.

역사

초실수(hyperreal)라는 용어는 1948년 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)이 도입하였다. 표준 부분은 에이브러햄 로빈슨이 처음 정의하였고, 로빈슨은 초실수 $x$에 대하여 ${}^{\circ }x$라는 표기법을 사용하였다. 비표준해석학에서는 이 개념이 미적분학에서 미분과 적분등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 무한소 이론으로 발전한다. 초실수의 표준 부분 개념을 통해, 피에르 드 페르마의 직관적인 "근접" 개념을 형식화할 수 있다.

같이 보기

• 초정수