표준부분함수

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비표준해석학에서, 표준부분함수(영어: standard part function)는 유한인 초실수에서, 가장 가까운 실수로의 함수이다. 유한인 초실수는 항상 그러한 실수를 유일하게 가진다. 그렇게 함으로써 피에르 드 페르마에 의해 도입되었던 근접의 개념을 구현할 수 있다.[1] x의 표준 부분을 x의 그림자라고 부르기도 한다.

역사[편집]

표준부분함수는 최초에 에이브러햄 로빈슨이 처음 정의하였고, 로빈슨은 초실수 x에 대하여 {}^{\circ}x라는 표기법을 사용하였다. 비표준해석학에서는 이 개념이 미적분학에서 미분적분등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 무한소 이론으로 발전한다.

정의[편집]

표준부분함수는 유한인 초실수를 가장 가까운 실수로 보낸다. 무한소의 현미경으로 표준 실수의 무한소-이웃들을 볼 수 있다.

비표준해석학은 기본적으로 \mathbb{R}\subset{}^{\ast}\mathbb{R}을 다루는데, 초실수 {}^{\ast}\mathbb{R}은 실수 \mathbb{R}순서체 확장이며, 실수 외에도 무한소를 포함한다. 초실수직선에서 모든 실수들은 그와 한없이 가까운 수들의 모임인 모나드 또는 할로(halo)를 가진다.

표준부분함수는 유한인 초실수 x를 그것에 한없이 가까운 유일한 표준 실수 x0로 대응시킨다. 이 관계를 아래와 같이 쓴다.

\,\mathrm{st}(x)=x_0.

모든 무한소의 표준부분은 0이다. 그러므로 N이 무한인 초정수일 때, 1/N은 무한소이므로, st(1/N) = 0이다.

초실수 u\langle u_n:n\in\mathbb{N} \rangle코시 수열에 의한 초승 구성(ultrapower construction)으로 표현되면, \text{st}(u)=\lim_{n\to\infty}u_n이다.

응용[편집]

표준부분함수를 이용하여 함수의 미분을 정의할 수 있다. f가 실변수함수이고, h무한소이면, f′(x)가 존재하면,

f'(x) = \operatorname{st}\frac {f(x+h)-f(x)}h.

다시 말해, y=f(x)라면, 무한소의 증분을 \Delta x라 하고 그에 따르는 \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)를 계산하여 \frac{\Delta y}{\Delta x}를 구한다. 그 후, 도함수를 \frac{dy}{dx}=\text{st}\left( \frac{\Delta y}{\Delta x}  \right)로 나타낼 수 있다.

주석[편집]

  1. Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 [1] arxiv.

같이 보기[편집]