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귀납적 차원

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일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 영어: inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

정의[편집]

위상 공간 작은 귀납적 차원(영어: small inductive dimension) 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.

  • 임의의 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.

위상 공간 큰 귀납적 차원(영어: large inductive dimension) 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.

  • 임의의 닫힌집합 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.

공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 이다.

성질[편집]

서로 다른 차원들의 비교[편집]

T1 공간 또는 정칙 공간 의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,

이다.[1]:9, Proposition 2.7

임의의 위상 공간 에 대하여,

이다.[1]:18, Corollary 3.5 여기서 르베그 덮개 차원이다.

거리화 가능 공간 의 경우,

이다.[2]:219, Theorem 10

린델뢰프 공간 의 경우,

이다.[1]:27, Proposition 5.3

린델뢰프 완전 정규 공간 [1]:171 또는 완비 파라콤팩트(영어: completely paracompact) 완전 정규 공간 [3]:296, Theorem F2의 경우,

이다.

우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 의 경우

이다.[4]:51, Theorem 1.7.7

부분 집합[편집]

위상 공간 부분 집합 에 대하여,

이다.[1]:8, Proposition 2.3 만약 추가로 닫힌집합이거나,[1]:9, Proposition 2.6 완전 정규 공간이라면,[1]:21, Corollary 3.13

이다.

합집합[편집]

완비 정규 공간 부분 집합 에 대하여, 만약 라면,

이다.[5]:2203, 2206 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다.

위상 공간 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면,

이다.[5]:2203, (1) 만약 추가로 정규 공간이라면,

이다.[5]:2206

곱공간[편집]

제2 가산 정칙 공간 의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로

이다.

위상 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의 닫힌집합 에 대하여,
  • 임의의 닫힌집합 에 대하여,

그렇다면,

이다.[5]:2203, (2) 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,[1]:Chapter 20 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.[1]:Chapter 14

위상 공간 에 대하여, 만약 이라면,

이다.[1]:12, Exercise 2.27

콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 만약 이라면,

이다.

위상 공간들의 집합 곱공간

에 대하여, 만약 모든 에 대하여 이라면, 이다.[1]:12, Exercise 2.28

스톤-체흐 콤팩트화[편집]

정규 하우스도르프 공간 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 에 대하여,

이다.[4]:137, Theorem 2.2.10

0차원[편집]

경계공집합필요충분조건열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:10, Proposition 2.9

위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.

  • 만약 이라면, 완비 정칙 공간이다.
  • 만약 이며, 콜모고로프 공간이라면, 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
  • 반대로, 만약 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 이다.[6]:362, Theorem 6.2.9
  • 만약 이라면, 정규 공간이다.
  • 만약 이며, T1 공간이거나 정칙 공간이라면, 이다.
  • 반대로, 만약 이며, 린델뢰프 공간 이라면, 이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[6]:362, Theorem 6.2.9

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 이 주어졌을 때, 는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[6]:362, Theorem 6.2.10

  • 완전 분리 공간이다.

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, 영어: zero-dimensional space)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, 영어: strongly zero-dimensional space)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

매장[편집]

T1 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[6]:363, Theorem 6.2.16[7]:323, §f-6

이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.

모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[4]:20, Theorem 1.3.15

  • 칸토어 집합 부분 집합위상 동형이다.
  • 무리수 집합 부분 집합위상 동형이다.

실수들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

사실, 모든 차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간차원 유클리드 공간 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:95, Theorem 1.11.5

  • 부분 집합위상 동형이다.

[편집]

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.

유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.

보다 일반적으로, 임의의 차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원이다.

의 작은·큰 귀납적 차원은 이다.

조르겐프라이 직선 조르겐프라이 평면 의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.[8]:2 조르겐프라이 직선르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면르베그 덮개 차원은 무한하다.[8]:2, Theorem 1

이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

거리화 가능 공간 에 대하여, 만약

라면, 이다.

증명:

임의의 점 열린 근방 가 주어졌다고 하자.

을 잡자. 이므로,

이 존재한다. 따라서,

이다.

순서 위상을 가한 전순서 집합 의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.[1]:12, Exercise 2.24

각주[편집]

  1. Charalambous, Michael G. (2019). 《Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples》. Atlantis Studies in Mathematics (영어) 7. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-22232-1. ISBN 978-3-030-22231-4. ISSN 1875-7634. MR 3970309. Zbl 1471.54001. 
  2. Ostrand, Phillip A. (1971). “Covering dimension in general spaces”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 1 (3): 209–221. doi:10.1016/0016-660X(71)90093-6. ISSN 0016-660X. MR 0288741. Zbl 0232.54044. 
  3. Chatyrko, Vitalij A.; Hattori, Yasunao (2003). “Around the equality towards a unifying theorem”. 《Topology and its Applications》 (영어) 131 (3): 295–302. doi:10.1016/S0166-8641(02)00358-9. ISSN 0166-8641. MR 1983085. Zbl 1030.54023.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 21) (도움말)
  4. Engelking, Ryszard (1995). 《Theory of dimensions finite and infinite》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 10. Heldermann Verlag: Lemgo. ISBN 3-88538-010-2. MR 1363947. Zbl 0872.54002. 
  5. Chatyrko, Vitalij A.; Hattori, Yasunao (2008). “Addition and product theorems for ind”. 《Topology and its Applications》 (영어) 155 (17–18): 2202–2210. doi:10.1016/j.topol.2007.05.028. ISSN 0166-8641. MR 2458005. Zbl 1161.54017. 
  6. Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001. 
  7. Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E., 편집. (2004). 《Encyclopedia of general topology》 (영어). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50355-2. MR 2049453. Zbl 1059.54001. 
  8. Sipacheva, Ol'ga (2021). “The covering dimension of the Sorgenfrey plane” (영어). arXiv:2110.08867. doi:10.48550/arXiv.2110.08867.  arXiv 인용에서 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]