아인슈타인 방정식

이 문서는 일반 상대성 이론의 장방정식에 관한 것입니다. E=mc²에 대해서는 질량-에너지 동등성 문서를 참고하십시오.

아인슈타인 방정식을 나타내는 1979년 스위스 5프랑 기념 주화. 물질과 우주 상수가 없을 경우의 아인슈타인 방정식 $R_{\mu \nu }=0$(리치 곡률이 0)이 새겨져 있다.

장방정식

스핀 0	클라인-고든 방정식
스핀 ½	디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1	맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½	라리타-슈윙거 방정식
스핀 2	아인슈타인 방정식

아인슈타인 방정식(Einstein方程式, 독일어: Einsteingleichungen, 영어: Einstein equations) 또는 아인슈타인 장 방정식(EFE,Einstein field equations)은 일반 상대성 이론을 기술하는 열 개의 연립 비선형 편미분방정식이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 1915년에 도입하였다. 이에 따르면, 시공의 곡률을 나타내는 아인슈타인 텐서는 물질이 발생시키는 에너지-운동량 텐서에 비례한다.

아인슈타인 방정식은 텐서 방정식이다. 그 좌변은 아인슈타인 텐서로, 이는 리치 곡률 텐서로부터 계산할 수 있다. 그 우변은 에너지-운동량 텐서로, (중력을 제외한) 물질의 에너지와 운동량의 밀도를 나타낸다. 따라서, 특정한 물질의 배치로부터 시공간의 휘어짐을 계산할 수 있다. 그러나 에너지-운동량 텐서와 아인슈타인 텐서의 계산에 모두 계량 텐서가 필요하므로, 아인슈타인 방정식은 연립 비선형 편미분방정식이 된다. 좌변과 우변은 각각 4×4 대칭 텐서이므로, 총 10개의 방정식이 있으나, 미분동형사상 불변성을 써서 4개의 방정식을 없앨 수 있다. 즉 6개의 연립 비선형 편미분방정식만이 남는다. 일반적으로, 이 편미방을 해석적으로 풀 수 없고, 특정한 가설 풀이를 잡아 풀거나 아니면 수치해석적으로 근사적 해를 구한다.

아인슈타인 방정식에 우주 상수를 나타내는 항을 추가할 수 있다. 이는 계량 텐서에만 의존하나, 마치 에너지-운동량 텐서와 같이 행동한다.

정의

미스너, 손, 휠러 저(著) 교재의 부호를 따르자. 즉, 계량 부호수는 −+++이고, 리만 곡률 텐서는

${R^{\mu }}_{a\beta \gamma }=\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }$

이다. 리치 텐서는

$R_{\mu \nu }={R^{\rho }}_{\mu \rho \nu }$

다. 이제, 아인슈타인 텐서

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R$

를 정의할 수 있다. 아인슈타인 텐서는 에너지-운동량 텐서와 마찬가지로 항상 공변보존된다. 즉

$\nabla ^{\mu }G_{\mu \nu }=0$

이다.

일반 상대성 이론에서, 에너지-운동량 텐서는 중력을 제외한 나머지 물질의 작용으로부터 다음과 같이 정의한다.

$T_{\mu \nu }=-2{\frac {1}{\sqrt {-\det g_{\alpha \beta }}}}{\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}\left({\mathcal {L}}_{\text{matter}}{\sqrt {-\det g_{\alpha \beta }}}\right)=-2{\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}{\mathcal {L}}_{\text{matter}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$.

여기서 ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$는 물질의 라그랑지안 밀도다. 이 에너지-운동량 텐서는 자동적으로 대칭적이며, 뇌터 정리에서 유도되는 에너지-운동량 텐서와는 조금 다르다. (뇌터 에너지-운동량은 일반적으로 대칭적이지 않다.)

이제, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

$G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }$.

여기서 $G$는 중력 상수로서, 아인슈타인 텐서와는 관련이 없다. $c$는 진공에서의 빛의 속도, $T_{\mu \nu }$는 에너지-운동량 텐서다. $\Lambda$는 우주 상수다.

변분법적 유도

 이 부분의 본문은 아인슈타인-힐베르트 작용입니다.

아인슈타인 방정식은 작용으로부터 변분법적으로 유도할 수 있다. 이 작용을 힐베르트 작용(영어: Hilbert action)이라고 부르며, 다음과 같다. (편의상 $c=1$로 놓자.)

$S_{\text{GR}}={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x\;{\sqrt {-g}}\left(R-2\Lambda +{\mathcal {L}}_{\text{matter}}\right)$.

시공이 경계가 없는 경우에는 이를 변분하여 아인슈타인 방정식을 얻는다. (시공이 경계가 있는 경우에는 기번스-호킹-요크 경계항(Gibbons-Hawking-York境界項, 영어: Gibbons–Hawking–York boundary term)을 힐베르트 작용에 더하여야 한다.)

다른 형식

아인슈타인 방정식

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=8\pi GT_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda$

의 대각합을 취하면

$(1-D/2)R=8\pi GT-D\Lambda$

이다. 여기서 $D$는 시공간의 차원이다. 따라서 아인슈타인 방정식을 다음과 같이 동등한 형태로 쓸 수 있다.

$R_{\mu \nu }=8\pi G\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}g_{\mu \nu }T\right)+{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }\Lambda$

참고 자료

• 인터넷아카이브- Einstein, Albert 1915, “Die Feldgleichungun der Gravitation”, 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》: 844-847

같이 보기

• 기번스-호킹-요크 항
• 브랜스-딕 이론
• 아인슈타인-카르탕 이론
• 칼루차–클레인 이론
• 필바인
• 슈바르츠실트 해