뇌터 정리

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물리학에서, 뇌터의 정리(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도함수의 공간적분)이다.

뇌터 정리는 현대 이론 물리학과 변분법의 기본적인 도구이며, 라그랑주 역학으로 다룰 수 있는 모든 에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우, 레일리 흩어지기 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.[1]

장론에서의 뇌터 정리[편집]

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 이 된다.) 이제

이다. 여기서

변분이다. 따라서,

로 정의한다면

이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 이므로, 이러한 경로에서는 가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

역학에서의 뇌터 정리[편집]

고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

에 대하여, 라그랑지언

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예[편집]

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

대칭 보존류 보존량
시공간 병진 대칭 에너지-운동량 텐서 4차원 운동량 (에너지, 운동량)
회전 대칭 4차원 각운동량 밀도 4차원 각운동량 (3차원 각운동량 , 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱[2] )
확대 변환 확대류[3] (즉, )
특수 등각 변환
전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: ) 4차원 전류 밀도 전하
복소 페르미온 회전 페르미온 수 보존류 페르미온 수
파동 함수 회전 확률류 1 (=가능한 확률의 합)

참고 문헌[편집]

  1. Noether, Emmy (1918). Invariante Variationsprobleme[[분류:독일어 표기를 포함한 문서|뇌터 정리]]”. 《Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》: 235–257.  URL과 위키 링크가 충돌함 (도움말) 번역 Noether, Emmy (1971). “Invariant variation problems”. 《Transport Theory and Statistical Physics》 (영어) 1 (3): 186-207. arXiv:physics/0503066. doi:10.1080/00411457108231446. 
  2. Baez, John (2006년 3월 4일). “Symmetry under boosts gives what conserved quantity?” (영어). 
  3. Callan, Curtis G., Jr.; Sidney Coleman, Roman Jackiw (1970년 7월). “A new improved energy-momentum tensor”. 《Annals of Physics》 (영어) 59 (1): 42–73. doi:10.1016/0003-4916(70)90394-5. 

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