일반 상대성 이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein-Hilbert作用, 영어: Einstein–Hilbert action)은 아인슈타인 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 가지는 작용이다. 스칼라 곡률의 시공간에 대한 적분이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 발견하였다.
아인슈타인-힐베르트 작용
는 다음과 같다.
.
여기서
은 스칼라 곡률이고,
이다. 여기서
는 중력 상수다.
필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
.
장 방정식 유도[편집]
이론의 완전한 작용이 아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자:
-
![{\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd997fb715564b1ab560c3204ba7dfb5c49ac84e) .
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(1)
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그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6932006c7d8f4759841a1af2901269e167d62521)
이 방정식은 임의의 변분
에 대해 성립해야 하므로, 이는
-
![{\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0417418f06b8ce31253f50fcf2a86790249d9b)
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(2)
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가 운동 방정식임을 보여준다.
오른쪽 항은 에너지 스트레스 텐서에 비례한다.[1],
![{\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fefbe6e3af41abb8202ed09f6571dea2f13fa4)
왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라
의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다.Carroll 2004 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFCarroll2004 (help).
리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분[편집]
리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 리만 곡률 텐서와 리치 텐서의 변분을 계산한다. 리만 곡률 텐서는 다음과 같다:
![{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5698f3948b36ebac1588a97a951d6819909cc7c2)
리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속
에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:
![{\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ad9adc10ae615249405e87d5340e0fa611c5f6)
이제,
가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은
![{\displaystyle \nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)=\partial _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4502283f5697c3bf61560805632db585fe570551)
이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:
![{\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc887988e11aaee82f1a96ddb708edc18e03fb89)
리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:
![{\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0450ccd655d647303db9f07cff8ed6b77aab8356)
리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:
![{\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84168e195cd9994486e5bbcd4b863b308bfbd1b7)
그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분
은
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672d687cc1d898eddf6a1b30fe8a7c0499a27081)
으로 주어진다.
두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative,
과, 리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
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정립된 이론 | |
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다른 고전적 중력 이론 | |
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양자 중력 | |
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제안된 이론 | |
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