바일 방정식

양자장론에서 바일 방정식(영어: Weyl equation)은 질량이 없는 페르미온을 나타내는 파동 방정식이다. 헤르만 바일의 이름을 땄다.

정의[편집]

바일 방정식은 다음과 같다.^[1]^[2]

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

이는 명백하게 SI 단위계를 따른다:

I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

여기서,

\sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})

는 성분이 μ = 0에 대해 2 × 2 단위행렬이고 μ = 1,2,3에 대해 파울리 행렬인 4차원 벡터이며, ψ는 바일 스피너의 파동함수이다.

요소 ψ_L 와 ψ_R는 상대적으로 각각에 대해 오른쪽과 왼쪽으로 다루어지는 파울리 행렬이다. 두 개의 요소가 가진 형태는

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

이며

이때

\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}

가 연속적인 2성분 스피너이다.

입자들이 질량이 없기 때문에 운동량 p의 크기는 직접적으로 파수 벡터 k에 연관된다.(이는 드 브로이 관계로 인해 가능하다.)

|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c

이 방정식은 오른손 및 왼손 스피너의 관점에서 다음과 같이 쓸 수 있다．

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}

손지기 성분은 입자들의 헬리시티 λ에 일치한다.(J는 각운동량으로 직선적 운동량 P위에 있다)

\mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle

여기서 $\lambda =\pm 1/2$ 이다.

이는 민코프스키 시공간에서의 대칭성으로 유도된다.

↑ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.

Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1