사다리 연산자

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고유값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다. 양자역학에서 널리 쓰인다.

정의

다음의 성질을 갖는 연산자 X 를 연산자 N 에 대한 사다리 연산자로 정의한다.

$[N, X] = c X \;$

여기서 c 는 어떤 상수이며 c 가 양수인 경우를 올림 연산자, 음수인 경우를 내림 연산자라 한다. 만약 |n〉 이 N 의 고유값이 n 인 고유벡터라 하면

$N|n\rangle = n|n\rangle$

을 만족한다. |n〉 에 X 를 작용하고 고유벡터가 어떻게 변하는지 알아보기 위해 다시 N 을 작용하면 아래와 같이 고유벡터의 고유값이 c 만큼 변했음을 알 수 있다.

$\begin{align} NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\ &= (XN + cX)|n\rangle\\ &= XN|n\rangle + cX|n\rangle\\ &= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\ &= (n+c)X|n\rangle \end{align}$

즉, |n〉이 N 의 고유값이 n 인 고유벡터일 때, X|n〉은 N 의 고유값이 n+c 인 고유벡터가 된다. c 값이 양수이면 고유값이 증가하고, 음수라면 고유값이 감소했음을 볼 수 있다.

만약 N 이 에르미트 연산자라면 고유벡터는 실수 고유값을 가지므로 c는 실수여야 한다. 또한, X 의 에르미트 공액 X^† 는 X 의 반대방향으로 고유값을 변화시키는 연산자가 된다. 즉,

$[N, X^\dagger] = - c X^\dagger \;$

를 만족하며, X 가 올림 연산자인 경우 X^† 는 내림 연산자, X 가 내림 연산자인 경우 X^† 는 올림 연산자가 된다.

조화진동자

사다리 연산자의 가장 단순한 예로, 단순 조화진동자를 생각하자. 이 경우에는 다음의 두 연산자

$a = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right)$

$a^{\dagger} = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)$

가 해밀토니안

$H = \frac{{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {x}^2 \,$

에 대해 사다리 연산자이다.

$[ H, a ] = - \hbar \omega a \;$

$[ H, a^\dagger ] = \hbar \omega a^\dagger \,$

각운동량

각운동량에서는 다음의 두 연산자

$J_+ = J_x + iJ_y\quad$,

$J_- = J_x - iJ_y\quad$,

가 각운동량의 z 방향 성분 J_z 에 대해 사다리 연산자다.

$\left[J_z,J_\pm\right] = \pm\hbar J_\pm\quad$.