사다리 연산자

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

양자역학에서, 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의[편집]

주어진 에르미트 연산자 N에 대하여, 연산자 X가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 XN사다리 연산자라고 한다.

[N, X] = c X

여기서 c 는 어떤 실수이다. c 가 양수인 경우를 올림 연산자, 음수인 경우를 내림 연산자라 한다. 이 경우 자동적으로

[N,X^\dagger]=-cX^\dagger

가 된다.

사다리 연산자가 주어지면, NX, X^\dagger의 대수의 표현을 지을 수 있다. |n〉 이 N고윳값n고유벡터라 하자.

N|n\rangle = n|n\rangle

그렇다면

X|n\rangle\sim|n+c\rangle
X|n\rangle\sim|n-c\rangle

이다. 따라서, 예를 들어 c>0이며 N의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 |n_{\text{max}}\rangle가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자를 사용하여

|n\rangle,X|n\rangle,X^2|n\rangle,\dots

와 같이 지을 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자X^\dagger를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 지을 수 있다.

[편집]

양자 조화 진동자[편집]

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

[x,p]=i

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 a생성 연산자 a^\dagger입자수 연산자 N을 다음과 같이 정의하자.

a=(x+ip)/\sqrt2
a^\dagger=(x-ip)/\sqrt2
N=a^\dagger a

여기서 N은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, xp는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

[N,a]=-a
[H,a^\dagger]=a^\dagger
[a,a^\dagger]=1

이다. 따라서, N의 고유벡터 |n\rangle이 주어지면

a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle
a|n\rangle\propto|n-1\rangle
N|n\rangle=n|n\rangle

이 된다. 즉, 바닥 상태 |0\rangle으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군표현을 지을 수 있다.

\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|0\rangle,a^\dagger|0\rangle,(a^\dagger)^2|0\rangle,\dots\right\}

각운동량[편집]

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 J_1,J_2,J_3은 SU(2)의 리 대수

[J_i,J_j]=i\epsilon^{ijk}J_k

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

J_+ = J_1 + iJ_2,
J_- = J_1 -  iJ_2=(J_+)^\dagger

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

[J_3,J_\pm] = \pm J_\pm

따라서, 상태들을 J_3의 고유상태 |m\rangle로 나타내면,

J_\pm|m\rangle\propto|m\pm1\rangle

이 된다. 최고 스핀 상태 |l\rangleJ_+로 상쇄되는 상태이다.

J_+|l\rangle=0

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|l\rangle,J_-^\dagger|0\rangle,(J_-)^2|0\rangle,\dots\right\}

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, l은 정수 또는 반정수이며, 또한

(J_-)^{2l+1}|l\rangle=0

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 2l\in\mathbb N에 의해 결정되며, 그 차원은 2l+1이다.

단순 리 군[편집]

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다.[1] 이 경우, 리 군근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수[편집]

등각 대칭등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

[D,K_\mu]=-iK_\mu
[D,P_\mu]=iP_\mu
[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}
[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )
[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)
[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

따라서, -iD에 대하여,

[-iD,K_\mu]=-K_\mu
[-iD,P_\nu]=P_\mu

이므로, 특수 등각 변환 K는 내림 연산자, 운동량 P는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 D가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. K에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 DM_{\mu\nu}에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 P를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.

비라소로 대수[편집]

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}\quad(m,n\in\mathbb Z)

따라서, L_0에 대하여, L_n은 내림 연산자, L_{-n}은 올림 연산자이다 (n>0).

[L_0,L_n]=-nL_n
[L_0,L_{-n}]=nL_{-n}

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state) |h\rangle로 알려져 있으며, L_0의 고윳값 h로 나타내어진다.

L_0|h\rangle=h|h\rangle
L_n|h\rangle=0\forall n>0

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 L_{-n}을 가하여 만들 수 있다.

\mathcal H_h=\operatorname{Span}\{|h\rangle,L_{-1}|h\rangle,L_{-1}^2|h\rangle,L_{-2}|h\rangle,L_{-1}^3|h\rangle,\dots\}

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군(영어: Verma module)이라고 한다.

참고 문헌[편집]