각운동량 연산자

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양자역학에서, 각운동량 연산자(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 J_x, J_y, J_z이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(spin angular momentum)이라고 한다.

정의[편집]

각운동량 연산자 \mathbf J=(J_x,J_y,J_z)는 다음과 같은 교환관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다.

\left[ J_i , J_j \right] = \sum_k i\hbar \epsilon_{ijk} J_k.

여기서 \epsilon_{ijk}레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

\left[ J_x , J_y \right] = i\hbar J_z
\left[ J_y , J_z \right] = i\hbar J_x
\left[ J_z , J_x \right] = i\hbar J_y.

각운동량 성분 사이에는 교환법칙이 성립하지 않으므로, 하이젠베르크의 불확정성원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환관계가 성립한다.

\left[ J_i , \mathbf J^2 \right] = 0 .

위 둘 사이에서는 교환법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

각운동량 사다리 연산자[편집]

각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 J_+, J_-를 정의할 수 있다.

J_\pm = J_x \pm iJ_y.

이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.

J_+ J_- + J_- J_+ = 2 (J_x^2 + J_y^2 ) = 2 (\mathbf J^2 - J_z^2 )
J_+ J_- = \mathbf J^2 - J_z^2 + \hbar J_z
J_- J_+ = \mathbf J^2 - J_z^2 - \hbar J_z

이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환관계로 아래와 같은 관계가 있다.

\left[ J_+ , J_- \right] = 2\hbar J_z
\left[ J_z , J_\pm \right] = \pm \hbar J_\pm
\left[ \mathbf J^2 , J_\pm \right] = 0

각운동량의 고윳값과 고유함수[편집]

위의 교환관계에서 설명하였다 시피, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 J_z를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

\mathbf J^2 | j, m \rangle = \hbar^2 j (j+1) | j, m \rangle
\mathbf J_z | j, m \rangle = \hbar m | j, m \rangle.

m -j, -j +1 , -j +2 , \cdots , j-1, j 중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우, j (통상적으로 l로 표기)는 음이 아닌 정수(0,1,2,\dots)이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 j는 음이 아닌 정수 또는 반정수({{lang|half-integer}) j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 m값이 변하게 된다.

J_+ | j, m \rangle = \hbar \sqrt{(j-m)(j+m+1)} | j, m+1 \rangle
J_- | j, m \rangle = \hbar \sqrt{(j+m)(j-m+1)} | j, m-1 \rangle

궤도 각운동량[편집]

궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량 \mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}.

여기서,

\mathbf{L}: 궤도 각운동량 연산자
\mathbf{r}: 위치 연산자
\mathbf{p}=-i\hbar\nabla: 운동량 연산자

이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 \textstyle \mathbf{p} = {h \over i } \nabla 가 되므로 궤도 각운동량는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\mathbf{L} = {h \over i} \mathbf{r} \times \nabla

정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 \mathbf{L}^2직교좌표계에서의 성분에 대한 연산자 L_x , L_y , L_z가 더 자주 쓰인다.

L_x = -i\hbar (y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y})
L_y = -i\hbar (z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z})
L_z = -i\hbar (x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x})
\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2.

이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

스핀 각운동량[편집]

같이 보기[편집]