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* {{서적 인용 | last=Shimura | first=Goro | 저자고리=시무라 고로 | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Springer Monographs in Mathematics | issn=1439-7382 | volume=106 | publisher=Springer | 날짜=1993 | isbn= 978-1-4419-1731-7 | doi=10.1007/978-1-4419-1732-4 | zbl = 1202.11026 | 언어=en}} |
* {{서적 인용 | last=Shimura | first=Goro | 저자고리=시무라 고로 | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Springer Monographs in Mathematics | issn=1439-7382 | volume=106 | publisher=Springer | 날짜=1993 | isbn= 978-1-4419-1731-7 | doi=10.1007/978-1-4419-1732-4 | zbl = 1202.11026 | 언어=en}} |
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* {{웹 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr07.pdf|이름=Carl Ludwig|성=Siegel|저자고리=카를 루트비히 지겔|출판사=Tata Institute of Fundamental Research|위치=[[뭄바이]]|제목=Lectures on quadratic forms|날짜=1955|zbl=0248.10019|언어=en}} |
* {{웹 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr07.pdf|이름=Carl Ludwig|성=Siegel|저자고리=카를 루트비히 지겔|출판사=Tata Institute of Fundamental Research|위치=[[뭄바이]]|제목=Lectures on quadratic forms|날짜=1955|zbl=0248.10019|언어=en}} |
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* {{서적 인용|제목=Quadratic and hermitian forms over rings|이름=Max-Albert|성=Knus|doi=10.1007/978-3-642-75401-2|isbn=978-3-642-75403-6|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=294|issn=0072-7830|날짜=1991|출판사=Springer|zbl=0756.11008|mr=1096299|언어=en}} |
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2016년 3월 21일 (월) 13:53 판
수론과 선형대수학에서, 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.
정의
가환환 위의 가군 위의 이차 형식 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.[1]:244[2]:54, (3.15)
- (동차성) 임의의 및 에 대하여,
- (쌍선형성) 함수 , 를 정의하면, 는 위의 쌍선형 형식을 이룬다.
이 경우, 를 의 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.[2]:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.[2]:54
흔히 다루어지는 경우는 는 체이거나 대수적 정수환이며, 는 자유 가군인 경우다.
같은 가환환 위에 두 가군 , 이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 , 이 존재한다고 하자. 와 사이의 동치(영어: equivalence) 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
- 는 가군의 동형이다.
- 이다.
두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.
비퇴화 이차 형식
가환환 위의 가군 위의 이차 형식 의 의 연관 겹선형 형식이 라고 하자. 의 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 인 원소 이다.[2]:58, §3.4.7 의 근기(영어: radical) 는 의 근기
에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.[2]:58, §3.4.7
이는 의 부분 가군이자 의 부분 가군이다. 이는 임의의 에 대하여
이기 때문이다.
가 체이고, 가 그 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면
의 여차원은 0 또는 1이다. 만약 의 표수가 2가 아니라면, 항상 이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 인 경우에만 가능하다.
만약 의 근기가 이라면, 를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 의 연관 쌍선형 형식 가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, 의 근기가 이라면), 를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, 일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는
인 경우이다.
정부호성
순서체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식 에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.
- 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
- 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
- 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
- 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
- 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.
만약 가 실폐체이거나 (보다 일반적으로) 에서 모든 양수의 제곱근이 존재한다면, 부정부호 이차 형식의 개념은 보편 이차 형식의 개념과 같다.
이차 공간
가환환 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) 은 위의 가군 과 그 위의 이차 형식 의 순서쌍이다.
위의 두 이차 공간 , 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 이 주어졌을 때, 만약 이 자유 가군이라면, 를 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.
수의 표현
가환환 위의 가군 위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 만약 인 이 존재한다면, 을 의 에 의한 표현(영어: representation of by )이라고 한다.
만약 의 모든 원소가 에 의하여 표현될 수 있다면, 를 보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)이라고 한다.
성질
비트 소거 정리
임의의 표수의 체 위의 이차 공간 , , 이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 이라면, 이다.
대칭 쌍선형 형식과의 관계
홀수 표수의 체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식들은 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 에 대응하는 쌍선형 형식은 그 연관 쌍선형 형식의 절반
이며, 반대로 대칭 쌍선형 형식 에 대응하는 이차 형식은 다음과 같다.
즉, 홀수 표수에서 이차 형식은 대칭 쌍선형 형식과 사실상 같은 개념이다.
표수가 2일 경우, 위 동치는 성립하지 않는다. 이는 2의 역수가 존재하지 않기 때문이다.
대각화와 비트 분해 정리
체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 가
의 꼴의 이차 형식과 동치라면, 를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다.
비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 위의 이차 공간 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
여기서 각 성분은 다음과 같다.
- 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
- 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
- 는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, 는 짝수이며, 속에서 인 차원 부분 공간 이 존재한다.
이 경우 을 의 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, 를 의 계수(영어: rank)라고 하며, 를 의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.[2]:58 비트 정리에 따라, 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
같은 체 위의 두 이차 공간 , 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 주어진 체 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
이 가환환을 의 비트 환(영어: Witt ring)이라고 한다. 같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 차원들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
을 갖는다.
분류
이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.
복소수 이차 형식의 분류
가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
이 경우, 이차 형식은 계수 에 의하여 완전히 분류된다.
위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, 의 비트 환은 이다.[3]:34
실수 이차 형식의 분류
가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 가 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)
유한 차원 실수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 에 따라서 완전히 분류된다 (). 즉, 모든 이차 형식 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
구체적으로, n 변수의 계수 이차 형식 은 대칭 행렬 으로 나타낼 수 있다.
의 부호수(영어: signature) 는 의 양의 고윳값의 수 , 고윳값 0의 중복도 , 음의 고윳값의 수 의 순서쌍이다. 물론
이다. 여기서, 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.
이에 따라, 의 비트 환은 와 동형이다.[3]:34
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
- 계수 의 양의 정부호 형식은 에 대응한다.
- 계수 의 음의 정부호 형식은 에 대응한다.
- 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 에 대응한다.
위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 에서 인 경우이다. 만약 이지만 인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 이지만 인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.
국소체 위의 이차 형식의 분류
p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세 불변량(영어: Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.
비아르키메데스 국소체 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 라고 하고, 가 홀수라고 하자. 그렇다면, 의 비트 환은 다음과 같다.[3]:152
대역체 위의 이차 형식의 분류
하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 위의 두 이차 형식 , 이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.
- 의 완비화인 모든 국소체 에 대하여, 와 는 서로 동치이다. 여기서 는 를 계수로 간주한, 위의 이차 형식이다.
유리수체 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.[3]:166
홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류
표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.
이들은 구체적으로 다음과 같다. 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
즉, 다음과 같은 꼴이다.
만약 이 홀수라면, 는 과 동치이다.[2]:69 이 경우 비트 지표는 , 둘 다 이다.
만약 이 짝수라면, 은 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.[2]:59
- 이며 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
- 이거나 또는 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
이 경우, 비트 지표가 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
홀수 차수 유한체 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 에 따라 구체적으로 다음과 같다.[3]:37
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
인 경우 0 1 2 3
인 경우 0 1 x 1+x
짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류
표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.[2]:58–59, §3.4.7 이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, 이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.
구체적으로, 이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.
즉, 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 의 연관 대칭 쌍선형 형식은
이다. 즉, 이다.
가 의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) 이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.[2]:58–59, §3.4.7
즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 를 플러스형(영어: plus-type), 를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59 의 비트 지표는 이며, 의 비트 지표는 이다.
비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.
정수환 위의 이차 형식의 분류
정수환 이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.
정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.[4] 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.[4] 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.[4]
정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. 위의 두 이차 형식 , 이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.
즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.
주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, 영어: Smith–Minkowski–Siegel mass formula)에 의하여 주어진다.
응용
이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.
대수기하학
임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.
모듈러 형식
임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.
격자 이론
정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.
역사
고대 수학에서의 이차 형식
특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마의 두 제곱수 정리로서 해결하였다.
기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 을 연구하는 문제이다.
19세기 이차 형식 이론
1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.[5] 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.
1867년에 헨리 존 스티븐 스미스(영어: Henry John Stephen Smith)는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.[6] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문[7] 에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.
20세기~21세기 이차 형식 이론
헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고,[8] 이를 비롯한 세 편의 논문[8][9][10] 에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문[11] 에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.[12]
마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,[4] 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.[4] 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.
참고 문헌
- ↑ Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 카 타 파 하 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.
- ↑ 가 나 다 라 마 Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- ↑ 가 나 다 라 마 Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). 《The sensual (quadratic) form》. Carus Mathematical Monographs (영어). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. Zbl 0885.11002.
- ↑ Sylvester, James Joseph (1852). “A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares” (PDF). 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 4 (23): 138–142. doi:10.1080/14786445208647087.
- ↑ Smith, H. J. Stephen (1867). “On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates”. 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) 16: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491.
- ↑ Minkowski, Hermann (1885). “Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 7: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01.
- ↑ 가 나 Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 36 (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703.
- ↑ Siegel, Carl Ludwig (1936년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 37 (1): 230–263. doi:10.2307/1968694. JSTOR 1968694.
- ↑ Siegel, Carl Ludwig (1937년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 38 (1): 212–291. doi:10.2307/1968520. JSTOR 1968520.
- ↑ Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.
- ↑ Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Ricardo Baeza, Wai Kiu Chan, Detlev W. Hoffmann, Rainer Schulze-Pillot. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.
- Cassels, J.W.S. (1978). 《Rational quadratic forms》. London Mathematical Society Monographs (영어) 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
- Kitaoka, Yoshiyuki (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511666155. ISBN 978-052140475-4. Zbl 0785.11021.
- Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 73. Springer. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. Zbl 0292.10016.
- O’Meara, O.T. (2000). 《Introduction to quadratic forms》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 117. Springer. doi:10.1007/978-3-642-62031-7. ISBN 978-3-540-66564-9. Zbl 0259.10018.
- Pfister, Albrecht (2001년 2월). 《Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 106. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526077. ISBN 978-052146755-1. Zbl 0847.11014.
- Shimura, Goro (1993). 《Arithmetic of quadratic forms》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 106. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-1732-4. ISBN 978-1-4419-1731-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1202.11026.
- Siegel, Carl Ludwig (1955). “Lectures on quadratic forms” (PDF) (영어). 뭄바이: Tata Institute of Fundamental Research. Zbl 0248.10019.
- Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.
같이 보기
바깥 고리
- 今野 拓也 (2006년 7월 10일). “二次形式、局所大域原理、テータ級数” (PDF) (일본어). 규슈 대학.
- 김명환 (2001년 1월). “이차형식이론 연구의 동향과 전망”. 《Trends in Mathematics》. KAIST.
- “Quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Binary quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Quadratic form”. 《nLab》 (영어).
- “Quadratic refinement”. 《nLab》 (영어).
- “Characteristic element of a bilinear form”. 《nLab》 (영어).
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form rank”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic form signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylvester's signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “p-signature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive semidefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Indefinite quadratic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- 이철희. “대칭 겹선형 형식과 이차형식”. 《수학노트》.
- 이철희. “유리계수 이차형식”. 《수학노트》.
- 이철희. “정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)”. 《수학노트》.
- 이철희. “정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)”. 《수학노트》.
- 이철희. “정수의 이차형식 표현”. 《수학노트》.