유니모듈러 격자

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유니모듈러 격자(영어: unimodular lattice)는 행렬식이 ±1인 격자이다.

정의[편집]

격자(영어: lattice) (L,\langle\cdot,\cdot\rangle)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

유니모듈러 격자는 다음 조건을 만족시키는 격자 (L,\langle\cdot,\cdot\rangle)이다.

  • Ln차원이라고 하자. L기저 \{v_1,\dots,v_n\}을 잡았을 때, n\times n 대칭 정수행렬 M\in\operatorname{Mat}_n(\mathbb Z)(M)_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle로 정의하자. 그렇다면 \det M=\pm1이다. (행렬 M은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)

짝 유니모듈러 격자(영어: even unimodular lattice)는 모든 v\in L에 대하여 \langle v,v\rangle짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 홀 유니모듈러 격자(영어: odd unimodular lattice)라고 한다.

분류[편집]

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 (m,n)인 부정부호 격자 \Lambda\subset\mathbb R^{m,n}의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

I_{m,n}

가 존재한다. 구체적으로 이는 \mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건

m\equiv n\pmod8

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

II_{m,n}

가 존재한다. 이는 구체적으로

\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}

이다. 또한, II_{8,0}E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

  • 7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 I_{n,0}가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
  • 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E8 리 군근계로 생성된다.
  • 8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 E_8\oplus E_8
  • 24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(영어: Niemeier lattice)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자(영어: Leech lattice) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다. 홀 유니모듈러 격자의 수는 (OEIS의 수열 A054911), 짝 유니모듈러 격자의 수는 (OEIS의 수열 A054909)이다.

차원 홀격자 근이 없는 홀격자 짝격자 근이 없는 짝격자
0 0 0 1 1
1 1 0
2 1 0
3 1 0
4 1 0
5 1 0
6 1 0
7 1 0
8 1 0 1 (E8 격자) 0
9 2 0
10 2 0
11 2 0
12 3 0
13 3 0
14 4 0
15 5 0
16 6 0 2 (E82, D16+) 0
17 9 0
18 13 0
19 16 0
20 28 0
21 40 0
22 68 0
23 117 1 (짧은 리치 격자)
24 273 1 (홀 리치 격자) 24 (니마이어 격자) 1 (리치 격자)
25 665 0
26 ≥2307 1
27 ≥14179 3
28 ≥327972 38
29 ≥37938009 ≥8900
30 ≥20169641025 ≥82000000
31 ≥5000000000000 ≥800000000000
32 ≥80000000000000000 ≥10000000000000000 ≥1160000000 ≥10900000

참고 문헌[편집]