피타고라스 수

피타고라스의 정리: $a^2+b^2=c^2$

피타고라스 수(Pythagoras 數, pythagorean triple)는 피타고라스의 정리 $a^2+b^2=c^2$ 를 만족하는 세 자연수 쌍 $(a, b, c)$ 를 말한다. (3, 4, 5)는 가장 잘 알려진 피타고라스 수이다. $(a, b, c)$가 피타고라스 수라면 임의의 자연수 $k$에 대해 $(ka, kb, kc)$ 역시 피타고라스 수가 된다. $a, b, c$ 세 수가 서로소인 피타고라스 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. c가 100보다 작은 원시 피타고라스 수는 모두 16쌍이 있다.

(3, 4, 5)	(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)
(5, 12, 13)	(13, 84, 85)	(20, 21, 29)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(8, 15, 17)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)
(9, 40, 41)	(12, 35, 37)	(36, 77, 85)	(65, 72, 97)

임의의 홀수와 그 수를 제곱한 수를 차이가 1이 되도록 둘로 나눈 두 수, 이렇게 세 개의 수는 피타고라스 수가 된다. 예를 들어,

• 3의 제곱 9를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 4 와 5,
• 5의 제곱 25를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 12 와 13,
• 7의 제곱 49를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 24 와 25

는 각각 피타고라스 수가 된다.

일반해

$(a, b, c)$가 피타고라스 수이고, 셋의 최대공약수가 $d$ 인 경우에

$a = da'\mbox{, }b = db'\mbox{, }c = dc'$

로 쓸 수 있고, 조건으로부터

$d^2(a')^2 + d^2(b')^2 = d^2(c')^2$

를 만족하며, 양변을 $d^2$ 으로 나누면, $(a', b', c')$는 원시 피타고라스 수가 되는 것을 알 수 있다.따라서, 모든 피타고라스 수는 원시 피타고라스 수의 배수로부터 얻을 수 있으므로, 피타고라스 수의 일반해는 모든 원시 피타고라스 수를 구하는 것이 된다. 원시 피타고라스 수를 구하는 공식은 잘 알려져 있어서, 자연수 $m, n (m > n)$에 대해서

$\begin{cases} a = m^2 - n^2\\ b = 2mn\\ c = m^2+n^2 \end{cases}$

가 피타고라스 수의 일반해가 된다. 여기서 m과 n에 아래의 제한조건이 붙는다.

(1) m이 홀수이면, n은 짝수이다.

(2) m이 짝수이면, n은 홀수이다.

(3) m과 n은 서로 소이다.

이 조건을 위배하여도 피타고라스 수가 된다. 단지 원시 피타고라스 수가 아닐 뿐이다. 이와 비슷한 방법으로 원시 피타고라스 수를 찾을 수 있다.

자연수 $m, n (m > n)$에 대해서

$\begin{cases} a = mn\\ b = (m^2 - n^2)/2\\ c = (m^2+n^2)/2 \end{cases}$

가 피타고라스 수의 일반해가 된다. 여기서 m과 n에 아래의 제한조건이 붙는다.

(1) m과 n은 모두 홀수이다.

(2) m과 n은 서로소이다.

위 두 방법은 같은 수식에서 유도된다. 단지 두 번째 방법이 제한조건이 줄어들므로, 프로그램하기 적절하다.