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* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CompHaus}</math>: 집합 <math>S</math>에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 [[이산 공간]] <math>S</math>의 [[스톤-체흐 콤팩트화]]이다. |
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2017년 9월 12일 (화) 18:30 판
범주론과 추상대수학에서, 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.
정의
구체적 범주 가 주어졌다고 하고, 망각 함자 의 왼쪽 수반 함자
가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 로부터 생성되는, 속의 자유 대상은 에 대한 상 이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.
구성
대수 구조 다양체의 범주 의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.
구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 의 연산들이 이며, 그 항수가 라고 하자. 또한, 에서 성립하는 대수적 관계들이 라고 하자. 또한, 임의의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.
를 로 표기하자. 는 대수 구조 연산을 번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합
를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
를 정의하는 대수적 관계들은 위의 동치 관계 로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, 로부터 생성되는 자유 대수 는 몫집합 이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.
여기서 은 동치 관계 에 대한 동치류이다.
예
대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.
- 집합의 범주: 집합 위의 "자유 집합"은 자신이다.
- 점을 가진 집합의 범주: 집합 위의 "자유 점을 가진 집합"은 이다.
- 모노이드의 범주: 클레이니 스타
- 군의 범주: 자유군
- 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군
- 가환환 위의 왼쪽 가군의 범주: 집합 위의 자유 가군
- 체 위의 단위 결합 대수의 범주: 집합 위의 자유 단위 결합 대수는 를 기저로 하는 벡터 공간 위의 텐서 대수 이다.
- 체 위의 가환 대수의 범주: 다항식환
- 체 위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수
대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.
외부 링크
- “Free algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Free algebraic system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Free”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Free object”. 《nLab》 (영어).
- “Free functor”. 《nLab》 (영어).
- “Free monad”. 《nLab》 (영어).