이론물리학에서 11차원 초중력(十一次元超重力, 영어: eleven-dimensional supergravity)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.
11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다.[1]
이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는
초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|32)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc4f49228e1cbbc79b3801a30b4ae5bdb919502)
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(32)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175d13d5310ee4817b23479a2796004fa164d3ad)
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.
특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은
![{\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi _{M}=D_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}_{M}-8\delta _{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdd1c1cf8c097cec28ac66e14593da4faeec512)
의 꼴이다.[2]:411[3]:(3.10) 여기서
![{\displaystyle D_{\mu }\epsilon =\partial _{\mu }+\omega _{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fb1f2541d8003d19e00caf56098780e6171365)
는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.
은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.
11차원 초중력은 중력장
과 마요라나 그래비티노
, 또 3차 미분형식 게이지장
를 포함한다. 이들은 다음과 같다.
이름 |
기호 |
푸앵카레 대칭 표현 |
게이지 대칭
|
중력장 |
![{\displaystyle G_{MN}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfde193221a367af1183b0774667906ff23a53b4) |
대칭 텐서 |
미분 동형
|
그래비티노 |
![{\displaystyle \psi _{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e2da14bbf4b6f3582ee77978422dde688f46da) |
벡터-마요라나 스피너 |
국소 초대칭 변환
|
게이지장 |
![{\displaystyle C_{MNP}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620c1ab97feaeeff4245fabde6872277367ca524) |
3차 미분 형식
|
|
11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}C_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9a146b9a8f039f24a654ec8e539b118a5ca108)
여기서
는 11차원 굽은 공간 지표이다.
는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
는 리치 스칼라이다.
은 필바인이며,
이 11차원 계량 텐서이다.
은 부피 형식이다.
는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
는
의 4차 미분 형식 장세기이다.
은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
는 중력 상수의 8π배이다.
다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는,
등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.[4]:(3.2)
이름 |
기호 |
등급 |
미분
|
필바인 |
![{\displaystyle e^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e828452cd69d3bb7ebab91ba5449ee4102b3ef8d) |
(1,+) |
|
스핀 접속 |
![{\displaystyle \omega ^{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d7c2c60cbdfc31c7bc16a287c5ba1c56c2f2b1) |
(1,+) |
|
그래비티노 |
![{\displaystyle \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a) |
(1,−) |
|
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장 |
![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) |
(3,+) |
|
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장 |
![{\displaystyle C_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17692472a5b1f5de8b8b27603154198c16b61fbc) |
(6,+) |
|
이 L∞-대수
를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데,
와
,
를 생략하면, 푸앵카레 리 대수
을 얻는다.
이제, 그 베유 대수(영어: Weil algebra)
![{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55370992e98a0cbf6123f8944fa852080b1cda7)
를 정의할 수 있다. 이는
-등급 미분 등급 대수이다.
시공간이 매끄러운 다양체
이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f022220ad3d12aca7c479227dfd4f04756f96f)
이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.
(비틀림 텐서)
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca4f13c2f03d06cfbccb433e5b7e097da77388)
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{6}+15(\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3})\wedge C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8485a29afebcf60a6ea0dfedd54d89eec72410da)
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e490f26deb5c46257dd928ad20f9bae51f315d3f)
(리치 곡률 텐서의 일반화)
11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은
- 이 대상들이
와
로 생성되는 아이디얼에 속하며,
를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는
만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.
즉, 예를 들어,
의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식
이 존재하여야 한다.
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}=(G_{4})_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004327a413abe4bfc8bf942f472c3de83e343773)
이러한 꼴의 조건을 리오노미(영어: rheonomy)라고 한다.
11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.
차원 |
이론
|
11 |
11차원 초중력
|
10 |
ⅡA형 ( ) 초중력
|
9 |
초중력
|
8 |
초중력
|
7 |
초중력
|
6 |
초중력
|
5 |
초중력
|
4 |
초중력
|
11차원 초중력을
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10db678126a40e19b7a22c9af0f68532d7d02781)
![{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edb5ea1ac6af055d6f6bec928b5f6b6c4fe7c55)
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서
와 게이지 장
)은 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daafc2f39d338c826b0edd9dfc1f1fa8790cde28)
![{\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25b87cedfc93a38259cf22858ed77836018d40c)
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
(10,1)차원 |
(3,1)+7차원 |
(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수 |
(3,1)차원 벡터장의 수 |
(3,1)차원 텐서장의 수
|
![{\displaystyle G_{MN}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfde193221a367af1183b0774667906ff23a53b4) |
![{\displaystyle G_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce4a5b59de7eda449c1f08ed7a84ae5de88884a) |
— |
— |
1
|
![{\displaystyle G_{\mu m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af11264d46f477e2630a1c5266c83639d962193) |
— |
7 |
—
|
![{\displaystyle G_{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171d3d8825687641f1738c59254a5b28a307c86f) |
28 |
— |
—
|
![{\displaystyle C_{MNP}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620c1ab97feaeeff4245fabde6872277367ca524) |
![{\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152eb85b1e78085a2439b73994abab3b9c52faa4) |
— |
— |
—
|
![{\displaystyle C_{m\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346d550e9e5846b1dc25ef4bd99ba8b423b3f19f) |
7 |
— |
—
|
![{\displaystyle C_{mn\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993fe051083f6904b2e21a6ada4e8f1c522b586e) |
— |
21 |
—
|
![{\displaystyle C_{mnp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7575417a66f91f2c03be81dbdd4301c5b86e4182) |
35 |
— |
—
|
계 |
70 |
28 |
1
|
이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장
및
![{\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa71203452f84a89ca9cf9941f02bd94400fa5c)
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장
을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
![{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}/\operatorname {SU} (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f969cd2ca487cf0e8403c6df70996bb7fc1e9bf)
의 좌표를 이룬다.[5] 여기서
은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.
28개의 스칼라장
과
를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장
을 생각하자.
이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.[5]:(4.4)
![{\displaystyle S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e87a131b2ebab523dfffcc28116cfc357908f0)
![{\displaystyle \Delta =|\det(g_{mn})_{1\leq m,n\leq 7}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8416a3b0ffdff6e22e97b3b73cdeeefb9f3733de)
이는 동차 공간
의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은
차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환
![{\displaystyle S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b010dee3302fc3d568ec92ca9147402a477df7)
을 겪는다. 게이지 변환 가운데
부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.
이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라
가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f4350958f60e74158b98139d2932b3a5cc91f9)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f426eba1e624cb4df9f813722b6cfdff366a55e6)
이에 따라,
에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여,
의 원소로 확장할 수 있다. 다만,
의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.[5]:(4.24)
이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의
대칭에 대하여, 이 보손들은
및
의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.
4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은
의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는
의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} _{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} _{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507cfc21b263fd4fc4a7b55d3f6f002ce7e45393)
여기서
의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.
11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.
4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.
![{\displaystyle \mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd0aa62f65767f797cd8f14c290b674972829aa)
![{\displaystyle 320=28\times 8+4\times 24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169fc0b995f29e22186d5146bf9ab4e2240a9199)
28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다[5]:170, §6 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.[5]:170, §6
페르미온들은 대역적 대칭
에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭
의 표현을 이루지만
의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.
11차원 초중력을
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace0dc9e97384aa508a0930d59dc84915f49262d)
![{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edb5ea1ac6af055d6f6bec928b5f6b6c4fe7c55)
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서
와 게이지 장
)은 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daafc2f39d338c826b0edd9dfc1f1fa8790cde28)
![{\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25b87cedfc93a38259cf22858ed77836018d40c)
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
(10,1)차원 |
(4,1)+6차원 |
(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수 |
(4,1)차원 벡터장의 수 |
(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
|
![{\displaystyle G_{MN}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfde193221a367af1183b0774667906ff23a53b4) |
![{\displaystyle G_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce4a5b59de7eda449c1f08ed7a84ae5de88884a) |
— |
— |
1
|
![{\displaystyle G_{\mu m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af11264d46f477e2630a1c5266c83639d962193) |
— |
6 |
—
|
![{\displaystyle G_{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171d3d8825687641f1738c59254a5b28a307c86f) |
![{\displaystyle \textstyle {\binom {6+1}{2}}=21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3592a3d928429939ac681ecde1cbe87d80b05b) |
— |
—
|
![{\displaystyle C_{MNP}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620c1ab97feaeeff4245fabde6872277367ca524) |
![{\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152eb85b1e78085a2439b73994abab3b9c52faa4) |
1 |
— |
—
|
![{\displaystyle C_{m\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346d550e9e5846b1dc25ef4bd99ba8b423b3f19f) |
— |
6 |
—
|
![{\displaystyle C_{mn\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993fe051083f6904b2e21a6ada4e8f1c522b586e) |
— |
![{\displaystyle \textstyle {\binom {6}{2}}=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd325d7e376956814595295cd10d50d92081bdbb) |
—
|
![{\displaystyle C_{mnp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7575417a66f91f2c03be81dbdd4301c5b86e4182) |
![{\displaystyle \textstyle {\binom {6}{3}}=20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bf1bb22d1dad0410d5473f58717cf00a9b02f8) |
— |
—
|
계 |
42 |
27 |
1
|
이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장
및
![{\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8167ffb56836aa4f648f772d4eb379a9fdd0c63)
에 의하여 정의되는 스칼라장
를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
![{\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}/\operatorname {USp} (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03446c2952b1184a46a028b49db31d31f52d892)
의 좌표를 이룬다. 여기서
은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.
마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다.
끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.
11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(프랑스어: Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(프랑스어: Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다.[2]
- ↑ Miemiec, André; Igor Schnakenburg (2006년 1월). “Basics of M-Theory”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 54 (1): 5–72. arXiv:hep-th/0509137. Bibcode:2006ForPh..54....5M. doi:10.1002/prop.200510256.
- ↑ 가 나 Cremmer, Eugène; Julia, Bernard; Scherk, Joel (1978년 6월 19일). “Supergravity in theory in 11 dimensions”. 《Physics Letters B》 (영어) 76 (4): 409–412. Bibcode:1978PhLB...76..409C. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8.
- ↑ Miemiec, André; Schnakenburg, Igor (2006). “Basics of M-theory”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 54: 5–72. doi:10.1002/prop.200510256.
- ↑ Fré, Pietro; Grassi, Pietro Antonio (2008). “Free differential algebras, rheonomy and pure spinors” (영어). arXiv:0801.3076.
- ↑ 가 나 다 라 마 Cremmer, Eugène; Julia, Bernard (1979년 11월 12일). “The SO(8) supergravity”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 159 (1–2): 141–212. doi:10.1016/0550-3213(79)90331-6.