마요라나 스피너

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이론물리학표현론에서, 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.[1]:Chapter 3[2]

정의[편집]

차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수 를 생각하자. 즉,

에서, 개의 +부호와 개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 가 존재한다.

그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.

스피너의 성질 감마 행렬의 성질
±4 바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너) 복소수
+3 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) 복소수
+2 마요라나 스피너, 바일 스피너 실수
+1 마요라나 스피너 실수
±0 마요라나-바일 스피너 실수
−1 마요라나 스피너 허수
−2 마요라나 스피너, 바일 스피너 허수
−3 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) 복소수

여기서

디랙 스피너의 복소수 차원이며, , , 는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.

위 표에서,

  • 의 계수 는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
    • 계수가 인 경우 (즉, , 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다.
    • 만약 계수가 가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 라면 (즉, 가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
    • 계수가 일 경우, 만약 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다.
  • 의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

성질[편집]

디랙 스피너의 실수 조건[편집]

차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수

차원 정의 표현이다. 만약 이 짝수인 경우, 이는 두 개의 차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다.

복소수 클리퍼드 대수 에르미트 형식

을 가지며, 이는

를 만족시킨다. (여기서 의 값에만 의존한다.)

이제, 어떤 부호 를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.

(복부호 동순이 아님)

이 경우, 만약 가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.

만약 디랙 피너 공간 가 실수 구조를 갖는다면,

를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.

만약 디랙 피너 공간 가 사원수 구조를 갖는다면,

를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 에 대하여, 위에서,

를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.

감마 행렬의 실수성[편집]

마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

물리학적 성질[편집]

마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.

만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.

[편집]

1차원[편집]

1차원에서는

이다. 즉, 부호수가 일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은

이다.

2차원[편집]

2차원에서는

이며, 이 경우 클리퍼드 대수

이다. 즉, 부호수 일 때,

로 놓으면,

이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

마찬가지로, 부호수 일 때,

로 놓으면,

이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

3차원[편집]

3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

부호수 일 때,

는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상

에서 비롯한다.

마찬가지로, 일 때, 위 행렬들에 모두 를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.

또는 일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬

은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.

다만, 부호수 에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상

에서 유래한다. 즉, 부호수 의 경우, 사원수 감마 행렬

를 정의하면,

이다.

4차원[편집]

4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

즉,

  • 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
  • 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.
  • 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.

예를 들어, 차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),

는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형

에서 유래한다. 여기서 는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.

부호수가 일 때, 실수 리 대수 동형

이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,

를 적으면,

이다.

부호수 일 때,

에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.

5차원[편집]

5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

즉, 부호수가 일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형

에서 기인한다.

다른 부호수의 경우,

으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.

6차원[편집]

6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

즉, 부호수 일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형

에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼ᄍᆃᆨ과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 의 정의 표현이다.

부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형

로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

역사[편집]

에토레 마요라나의 이름을 땄다.

응용[편집]

물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine. 《Supergravity》 (영어). 
  2. Van Proeyen, Antoine (1999). “Tools for supersymmetry” (영어). arXiv:hep-th/9910030. 

외부 링크[편집]