이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.[1]:Chapter 3[2] 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.
차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간
위의 클리퍼드 대수
를 생각하자. 즉,
![{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=2\eta ^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f25c30bb15afa826a4dfea46a33012710d74a325)
에서,
는
개의 +부호와
개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의
만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수
가 존재한다.
그렇다면, 실수 클리퍼드 대수
는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.
![{\displaystyle (s-t){\bmod {8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4639f8f3caf5cf882bea78ea98483a0617e350d) |
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1ae88bd530d9a8e641d21067851c3262d58657) |
![{\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s;t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cca7f3002aab1d71214bfc0dd993a604dd9ab1) |
스피너의 성질 |
감마 행렬의 성질
|
±4 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c02d090df7ca62f8f9221e93df9ca048c91861) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f2a14c4a91630d535217b4a611ef6d34a58c99) |
바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너) |
복소수
|
+3 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8db10fcb35dec47a4954a600dbbd202abbaa50) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c02d090df7ca62f8f9221e93df9ca048c91861) |
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) |
복소수
|
+2 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2b28a2509efc8094a6649ac3aac94a320b96b1) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0fdf22fd0e61b4905e8e1afa04af3e6bf2d1d6) |
마요라나 스피너, 바일 스피너 |
실수
|
+1 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc149e0cc2561e6d323c4652122c34d1ecfc69d) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2b28a2509efc8094a6649ac3aac94a320b96b1) |
마요라나 스피너 |
실수
|
±0 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2b28a2509efc8094a6649ac3aac94a320b96b1) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc32119571793463a411a7faca0fb002a39bb73f) |
마요라나-바일 스피너 |
실수
|
−1 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8db10fcb35dec47a4954a600dbbd202abbaa50) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2b28a2509efc8094a6649ac3aac94a320b96b1) |
마요라나 스피너 |
허수
|
−2 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c02d090df7ca62f8f9221e93df9ca048c91861) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0fdf22fd0e61b4905e8e1afa04af3e6bf2d1d6) |
마요라나 스피너, 바일 스피너 |
허수
|
−3 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f74ba1576d8a919ee74d1231351b4c92bac4ca9) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c02d090df7ca62f8f9221e93df9ca048c91861) |
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) |
복소수
|
여기서
![{\displaystyle N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68659c83c37523f0d71988e62f3bbe5f8244a0bd)
는 디랙 스피너의 복소수 차원이며,
,
,
는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.
위 표에서,
의 계수
는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
- 계수가
인 경우 (즉,
, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군
의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다.
- 만약 계수가
가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가
라면 (즉,
가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
- 계수가
일 경우, 만약
개의 디랙 스피너가 존재하며, 이
차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는
차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다.
의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.
디랙 스피너의 실수 조건[편집]
차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )={\begin{cases}\operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )&2\nmid n\\\operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )&2\mid n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c4cdd24638cb39b62245fbcf8a3981420c34fa)
![{\displaystyle N=2^{\lfloor n/2\rfloor }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ef8ab743bfb84a7b9a73b2bafc205949420510)
의
차원 정의 표현이다. 만약
이 짝수인 경우, 이는 두 개의
차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다.
복소수 클리퍼드 대수
는 에르미트 형식
![{\displaystyle \langle -|-\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bff12a6dd26efcb81605dc7bc08f830ea33a27b)
을 가지며, 이는
![{\displaystyle \langle \gamma ^{\mu }\psi |\chi \rangle =\pm \langle \psi |\gamma ^{\mu }\chi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b9107287e4a0c911254e448c7527f39b048643)
를 만족시킨다. (여기서
는
의 값에만 의존한다.)
이제, 어떤 부호
를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식
가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\gamma ^{\mu }\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\psi ,\gamma ^{\mu }\chi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf6698026cdfb2f99c824692232e4db07795b80)
(복부호 동순이 아님)
이 경우, 만약
가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약
가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.
만약 디랙 피너 공간
가 실수 구조를 갖는다면,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c2ee559a0c4c0be437b92d50f01e27cefd082)
를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.
만약 디랙 피너 공간
가 사원수 구조를 갖는다면,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c2ee559a0c4c0be437b92d50f01e27cefd082)
를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간
에 대하여,
위에서,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \Omega \psi ,-\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7506e0d387e8b0836e46506800ea0941b8c94707)
를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.
감마 행렬의 실수성[편집]
마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.
물리학적 성질[편집]
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.
만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.
1차원[편집]
1차원에서는
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac24fa5ebf0644bad7a9d8f592b2789d257d9e5)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,1)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405ba7946f2863ac633b2d74bdc49f3b077915f3)
이다. 즉, 부호수가
일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7719a0056822627b0a81591c738d1b17696dd516)
이다.
2차원[편집]
2차원에서는
![{\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {U} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef5e2e1d70c04cc2eb24cf37a6928f54a712f18)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147c19a0d0b5942097f4d348f62a9c64490c23c6)
이며, 이 경우 클리퍼드 대수는
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,1)=\operatorname {Cl} (0,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54090cbe8ce3ca0e673157c67fa07daa9ed958a6)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336504dbdb637e14b562c0056dd1642246e80051)
이다. 즉, 부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5919713c152e5dda39e56bb5fd8caf79dfcf8367)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717f07fc85747ebcf9188d523c65af431c341e91)
로 놓으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8628d71806d065b14d5d26b4b7057fef234a1e)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ecea2e6e4b2562fcb1f2f8d01eaa7f7cb3c885)
![{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0366a39311543d90710e6b7948b93fa2f85694dc)
이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
마찬가지로, 부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f28a3b5896ef13e2886651b0ed17e6fe9929540)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c421dd2c85f5951b2ba47c6a46b8a3854e235e3a)
로 놓으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69eff87f7ae4beb15a2ace8509110c9ce930034d)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{2}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f0acfde6301d8edc826cec8732fd0622d274e2)
이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
3차원[편집]
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,3)=\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd586f78bfbeae4d0dfef018c9b306cb4145d586)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f5527806c9b4e5fe7dbca363f085890f368225)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,1)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1de95b784cde86978e3eabaccd1911ea20e7883)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,0)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4aeac33439ae31ee1a06b56219ed4e05bbd5be)
부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5919713c152e5dda39e56bb5fd8caf79dfcf8367)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30bca0ea4e7d0629025925ab6ff421f46f2260b)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124a8c2cffd6aa47bb2c62da2fecfc3c999d1300)
는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b787737218734ace7278238b914db6d1984e5dc)
에서 비롯한다.
마찬가지로,
일 때, 위 행렬들에 모두
를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.
또는
일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬
![{\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806f5f41db2b3068e8c0ea0f3bf1a4f2d0565917)
은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.
다만, 부호수
에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {USp} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d5f7d6938a27351383b70a37bb460dbea849b6)
에서 유래한다. 즉, 부호수
의 경우, 사원수 감마 행렬
![{\displaystyle \gamma ^{-2}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec8ab28da8b0d2f0c44ecbfdb93c34f1e7bf276)
![{\displaystyle \gamma ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {j} \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f31ca7cfb343ccbe2d5ec1e78acd45fb790bf09)
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathrm {k} \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2206a868685e6254e4ecb92b430cfa6659a91d66)
를 정의하면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-2}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618ce54337000035b45f7bb16ab34de4132bc910)
![{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{0}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{-2}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c97345b7b52b1426b576b4af8e7cfafac5371e)
이다.
4차원[편집]
4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (4,0)\cong \operatorname {Cl} (0,4)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac2189985bb56e331c8b661569128860cab5475)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,3)\cong \operatorname {Cl} (2,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbf6424dec5aff75d452910c5d762cf44dae056)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,1)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510fd524bf8aba9ab1f6b21dcca6bb895250771b)
즉,
- 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
- 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.
- 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.
예를 들어,
차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&1_{2\times 2}\\-1_{2\times 2}&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb77c49035622e2a331fc2cbe48a2f5292af6ca7)
![{\displaystyle \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986a5a835029582c2e63259ba1f84c6d186ba51f)
![{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318904313476e270313ba40cab505111872cc02d)
![{\displaystyle \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{3}\\\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128457d92c2ad367c530f3ec4d77590933d7ef8b)
는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\cong \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f260d2abd8bdcba8147ffccb7246957dbb2ab7da)
에서 유래한다. 여기서
는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.
부호수가
일 때, 실수 리 대수 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7527f1880fa628fefe2f2941f6feb1c604dd00fc)
이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,
![{\displaystyle \gamma ^{-1}=\sigma ^{1}\otimes \mathrm {i} \sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b1fd563599ce938c71a57fadda417850937fda)
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1b38b97ce2dab0321d8030a517d35031e7c17b)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65030aba7bc9272f4346b5e3883d420b2b1c53a4)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc6b94445c87d23ff49f06a796dc7cf23fb7553)
를 적으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff8fbe8954e0bdf56e74fa78c9a70dc4fbeca0b)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03d59cdb7dbd725bb3d700ff6d96cd1dd39d70e)
![{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=0\qquad (i\neq j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53115431fe875a5eb459e65df211b53e2f4ce480)
이다.
부호수
일 때,
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923afc6eee371635755b33ee039ad07c04598602)
에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.
5차원[편집]
5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d842d976acec0356e15bafd370db5cc111d37c)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,5)\cong \operatorname {Cl} (2,3)\cong \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16130f26bb0d1d8f9f9e5f169f739a53213113c)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84163d8446d86b7ce3176bf1af4464273551f711)
즉, 부호수가
일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3,2)\cong \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33df22f05374a18426fd215c6b0c6e2fb406b2ef)
에서 기인한다.
다른 부호수의 경우,
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4,1)\cong \operatorname {USp} (2,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8f00921163858bd7ca8f918b2368cda3482cbd)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadd89ec4fdaf2126579748c52d50c03f91a57a9)
으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.
6차원[편집]
6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,6)=\operatorname {Cl} (3,3)=\operatorname {Cl} (4,2)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249a5f12707537bd54bce46ca54a7020aff959eb)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,5)=\operatorname {Cl} (2,4)=\operatorname {Cl} (6,0)=\operatorname {Mat} (4;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3dda656f12973653505af1dbf48b941af60a9f)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (5,1)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf40e76623da26440cdcbfce76149ad9115eab0)
즉, 부호수
일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(4;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7787bdc8c60694df869028e5acdb2313d4b0a704)
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dec50c02c5ae11e408e11b9bffb3344885593f)
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,4)\cong \operatorname {su} (2,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06773067132656290a471edc52cfe681c2ce8524)
에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는
의 정의 표현이다.
부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(1,5)\cong {\mathfrak {su}}^{*}(4)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c9fb2805b42370e2b019279682c550e3e5f74c)
로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
에토레 마요라나의 이름을 땄다.
물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.
- ↑ Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine. 《Supergravity》 (영어).
- ↑ Van Proeyen, Antoine (1999). “Tools for supersymmetry” (영어). arXiv:hep-th/9910030.
외부 링크[편집]