선형대수학에서 사원수 벡터 공간(영어: quaternionic vector space)는 사원수 대수 위의 가군이다.
사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.
사원수 대수 는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, 는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산
아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.
따라서, 위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.
사원수 대수 위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다.
차원 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 -반선형 변환 이다.
사원수 구조를 갖춘 차원 복소수 벡터 공간을 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.
차원 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조 는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 -선형 변환
로 구성된다.
즉, 는 을 보존하는 군 준동형
를 정의한다. 여기서 는 사원수군이다.
사원수 구조를 갖춘 차원 실수 벡터 공간을 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.
사원수 벡터 공간 가 주어졌을 때, 위의 사원수 선형 변환 는 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 를 이루며, 가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.
차원 복소수 벡터 공간 위의 실수 구조는 인 반선형 변환 에 의하여 주어진다. 이 경우 는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(영어: complex structure)는 인 반선형 변환으로서 주어진다.
복소수 벡터 공간 가 주어졌을 때, 는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.[1]:§1.6.3
이 함수가 -반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.
이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.
그렇다면
임을 쉽게 확인할 수 있다.