연결공간

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A는 R²의 연결 부분공간이며, B는 비연결 부분공간이다.

일반위상수학에서, 연결공간(連結空間, 영어: connected space)은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼갤 수 없는 위상공간이다. 연결성은 위상공간들을 구분하기 위해 쓰이는 가장 중요한 위상수학적 성질 가운데 하나이다.

정의[편집]

위상공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상공간을 연결공간이라고 한다.

연결공간이 아닌 공간을 비연결공간(영어: disconnected space)이라고 한다.

연결 성분[편집]

임의의 위상공간 X에 대하여, 그 연결 부분공간들의 집합 포함 관계에 따라서 부분순서집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 x_0\in X을 포함하는 모든 연결 부분공간들의 부분순서집합은 최대 원소를 가지며, 이를 x_0연결 성분(連結成分, 영어: connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, X는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌 집합이지만, 열린 집합일 필요는 없다. 예를 들어 유리수 집합의 연결 성분들은 한 점 집합이다.

경로연결공간[편집]

R2의 부분공간에 포함된 임의의 두 점을 길로 연결할 수 있으므로 이는 경로연결이다.

위상공간 X에 대하여, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X경로연결공간(經路連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다.

  • f(0)=x이며 f(1)=y이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 xy 사이의 경로라고 한다.

호연결공간[편집]

위상공간 X에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X호연결공간(弧連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 xy 사이의 (弧, 영어: arc)라고 한다.

성질[편집]

모든 경로연결공간은 호연결공간이다. 모든 호연결공간은 경로연결공간이다.

두 위상공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 만약 X가 연결공간이라면 f f(X) 또한 연결공간이다.
  • 만약 X가 경로연결공간이라면 f f(X) 또한 경로연결공간이다.

(단위원을 갖는) 가환환 R에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

  • R스펙트럼 \operatorname{Spec}(R)는 연결공간이다.
  • R의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(영어: rank)를 갖는다.
  • 모든 r\in R에 대하여, 만약 r^2=r라면, r=0이거나 r=1이다.
  • 만약 R\cong R_1\times R_2가환환 R_1, R_2가 존재한다면, R_1 또는 R_2자명환이다.

연결성 · 경로연결성 · 호연결성이 동치일 조건[편집]

하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

  • X는 경로연결공간이다.
  • X는 호연결공간이다.

유한 개의 점을 갖는 위상공간 X의 경우 다음이 서로 동치이다.

  • X는 연결공간이다.
  • X는 경로연결공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상공간은 절대로 호연결공간일 수 없다.)

\mathbb R의 부분집합 S\subset\mathbb R의 경우 다음이 서로 동치이다.

  • S는 연결공간이다.
  • S는 경로연결공간이다.
  • S는 호연결공간이다.
  • S구간이다. 즉, a\le b이며 S\in\{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}a,b\in[-\infty,\infty]가 존재한다. (공집합a>b인 구간으로 간주한다.)

국소 경로연결공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.

  • X는 연결공간이다.
  • X는 경로연결공간이다.

국소 콤팩트 국소연결 거리공간화 가능 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.[1]:327

  • X는 연결공간이다.
  • X는 경로연결공간이다.
  • X는 호연결공간이다.

특히, 유클리드 공간의 열린 집합은 국소 콤팩트 국소연결 거리공간이므로, 세 조건이 일치한다.

[편집]

연결공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

  • 공집합은 자명하게 연결공간이며, 또한 경로연결공간이자 호연결공간이다.
  • 하나의 점을 갖는 공간 \{\bullet\} 역시 자명하게 (경로/호) 연결공간이다.
  • 실수선 \mathbb R은 연결공간이다.
  • 연결 위상체에 대한 모든 위상벡터공간은 연결공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결공간이다.
  • 이산 값매김환스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상공간 \{0,1\}이며, 그 기저\{\{1\}, \{0,1\}\}이다. 이는 연결공간이다.

비연결공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

경로연결공간이 아닌 연결공간[편집]

긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결공간이지만 경로연결공간이 아니다.

호연결공간이 아닌 경로연결공간[편집]

크기가 2\le|X|<2^{\aleph_0} 인 경로연결공간 X는 호연결공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 2^{\aleph_0}개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 자명한 위상(공집합과 전체집합만이 열린 집합인 위상)을 주면, 이는 경로연결공간이지만 호연결공간이 아니다.

경로연결공간이지만 호연결공간이 아닌 T1 공간의 예로, 전순서집합 [0,\infty)에 원소 0'을 다음과 같이 추가하여 부분순서집합으로 만들자.

0'<a\forall a\in(0,\infty)
0'\not<0,\quad 0'\not>0

여기에 순서 위상을 준 공간은 T1 공간이며 경로연결공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호연결공간도 아니다. 이는 00' 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Cullen, Helen Frances (1968년). 《Introduction to general topology》. Heath and Company. Zbl 0164.23301

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]