연결 공간

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A는 R²의 연결 부분공간이며, B는 비연결 부분공간이다.

일반위상수학에서, 연결 공간(連結空間, 영어: connected space)은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다. 연결성은 위상 공간들을 구분하기 위해 쓰이는 가장 중요한 위상수학적 성질 가운데 하나이다.

정의[편집]

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 연결 공간이라고 한다.

연결공간이 아닌 공간을 비연결 공간(영어: disconnected space)이라고 한다.

연결 성분[편집]

임의의 위상 공간 X에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 x_0\in X을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 x_0연결 성분(連結成分, 영어: connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, X는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌 집합이지만, 열린 집합일 필요는 없다. 예를 들어 유리수 집합의 연결 성분들은 한 점 집합이다.

경로 연결 공간[편집]

R2의 부분공간에 포함된 임의의 두 점을 길로 연결할 수 있으므로 이는 경로연결이다.

위상 공간 X에 대하여, 임의의 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X경로 연결 공간(經路連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다.

  • f(0)=x이며 f(1)=y이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 xy 사이의 경로라고 한다.

호 연결 공간[편집]

위상 공간 X에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 x,y\in X에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 f\colon[0,1]\to X가 존재할 경우, X호 연결 공간(弧連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 xy 사이의 (弧, 영어: arc)라고 한다.

성질[편집]

모든 경로 연결 공간은 호 연결 공간이다. 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다.

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 만약 X가 연결 공간이라면 f f(X) 또한 연결공간이다.
  • 만약 X가 경로 연결 공간이라면 f f(X) 또한 경로연결공간이다.

(단위원을 갖는) 가환환 R에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

  • R스펙트럼 \operatorname{Spec}(R)는 연결 공간이다.
  • R의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(영어: rank)를 갖는다.
  • 모든 r\in R에 대하여, 만약 r^2=r라면, r=0이거나 r=1이다.
  • 만약 R\cong R_1\times R_2가환환 R_1, R_2가 존재한다면, R_1 또는 R_2자명환이다.

연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건[편집]

하우스도르프 공간 X에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

  • X는 경로 연결 공간이다.
  • X는 호 연결 공간이다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 X의 경우 다음이 서로 동치이다.

  • X는 연결 공간이다.
  • X는 경로 연결 공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

\mathbb R의 부분 집합 S\subset\mathbb R의 경우 다음이 서로 동치이다.

  • S는 연결 공간이다.
  • S는 경로 연결 공간이다.
  • S는 호 연결 공간이다.
  • S구간이다. 즉, a\le b이며 S\in\{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}a,b\in[-\infty,\infty]가 존재한다. (공집합a>b인 구간으로 간주한다.)

국소 경로 연결 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.

  • X는 연결 공간이다.
  • X는 경로 연결 공간이다.

국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 X의 경우, 다음이 서로 동치이다.[1]:327

  • X는 연결 공간이다.
  • X는 경로 연결 공간이다.
  • X는 호 연결 공간이다.

특히, 유클리드 공간열린 집합국소 콤팩트 국소 연결 거리 공간이므로, 세 조건이 일치한다.

[편집]

연결공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

비연결공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

경로 연결 공간이 아닌 연결 공간[편집]

긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간[편집]

크기가 2\le|X|<2^{\aleph_0} 인 경로 연결 공간 X는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 2^{\aleph_0}개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 자명한 위상(공집합과 전체 집합만이 열린 집합인 위상)을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 T1 공간의 예로, 전순서집합 [0,\infty)에 원소 0'을 다음과 같이 추가하여 부분 순서 집합으로 만들자.

0'<a\forall a\in(0,\infty)
0'\not<0,\quad 0'\not>0

여기에 순서 위상을 준 공간은 T1 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 00' 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

관련 개념[편집]

연결 공간은 대역적인 개념이다. 만약 연결 공간의 개념을 국소화한다면 (즉, 모든 점이 연결 공간인 근방을 갖는다면), 국소 연결 공간의 개념을 얻는다.

연결 공간은 또한 0차 베티 수가 1인 공간으로 볼 수 있다. 이 조건을 1차 베티 수에도 적용시키면 단일 연결 공간의 개념을 얻으며, 보다 일반적으로 모든 호모토피 불변량이 자명하다면 축약 가능 공간의 개념을 얻는다.

연결 공간의 조건에서, 열린 집합을 닫힌 집합으로 바꾸고, 서로소인 조건을 없애면 기약 공간의 개념을 얻는다. 이는 매우 강한 조건으로서, 하우스도르프 공간의 조건과 호환되지 않는다.

참고 문헌[편집]

  1. Cullen, Helen Frances (1968년). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301. 

바깥 고리[편집]