2차원 등각 장론

수학에서, 비라소로 대수(영어: Virasoro algebra)는 2차원 등각군을 생성하는 복소 리 대수다. 이론 물리의 등각장론과 끈 이론에서 쓰인다.

역사

엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수 (중심확장이 없는 비라소로 대수)를 발견하였고, 에른스트 비트(독일어: Ernst Witt)가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다. 비트 대수의 중심확장은 리처드 블록(영어: Richard Earl Block)과 이즈라일 겔판트(러시아어: Изра́иль Моисе́евич Ге́льфанд), 드미트리 푹스(러시아어: Дми́трий Бори́сович Фукс) (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(스페인어: Miguel Angel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 (영어: J. H. Weis)가 도입하였다.

정의

비라소로 대수는 $L_{n}$ ($n\in \mathbb {Z}$)과 $c$로 인하여 생성되는 대수로, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.

$[c,L_{n}]=0$

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{m+n}$

여기서 중심 원소 $c$가 없는 대수를 비트 대수(Witt algebra)라고 한다.

끈 이론에서의 사용

끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 (빛원뿔 좌표계에서의) ++, −−원소의 진동모드 전개로 등장한다. (닫힌 끈의 경우엔 이들이 각각 다른 비라소로 대수를 이루나, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수밖에 없다.) 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의하여 물리적 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 (고전적으로) 0이 되어야 하므로, 고전적으로 $L_{m}=0$이다. 이를 양자화하면, 오직

$(L_{m}-a\delta _{m0})|\psi \rangle =0$ ($m\geq 0$)

만을 만족시키면 된다. 여기서 $|\psi \rangle$는 임의의 실재하는 상태고, $a$는 이론에 따라 다른 상수다. (보존 끈 이론에서는 $a=1$이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우에는 $a=1/2$, R의 경우에는 $a=0$이다.)

초비라소로 대수

초끈 이론에서는 초등각대칭을 지니므로 등각대칭에 해당하는 비라소로 대수를 초비라소로 대수(영어: super-Virasoro algebra)로 확장할 수 있다. 초비라소로 대수는 비라소로 대수의 생성원 말고도 새 생성원 $G_{r}$이 있는데, 여기서 경계조건이 R이면 $r\in \mathbb {Z}$, NS이면 $r\in \mathbb {Z} +1/2$이다. 이는 초전류(supercurrent)의 진동모드로 생각할 수 있다. 대수는 다음과 같이 정의한다.

[L_m,G_r] = (m/2 − r)G_m+r,

{G_r,G_s} = 2L_r+s + (r² − 1/4)δ_r+s C/3.

참고 문헌

• Kenji Iohara, Yoshiyuki Koga (2011). 《Representation Theory of the Virasoro Algebra》. London: Springer. doi:10.1007/978-0-85729-160-8. ISBN 978-0-85729-159-2. 
• Wassermann, Antony (2010). “Kac-Moody and Virasoro algebras”.  arXiv:1004.1287